量子力学里若体系的波函数为球谐函数,其轨道角动量矢量与z轴的夹角是多少?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 15:23:39

量子力学里若体系的波函数为球谐函数,其轨道角动量矢量与z轴的夹角是多少?
如题,这是一道简答题.体系的波函数为Y_{lm,答案就一个fai.可是简答题不应该这么简略吧?再说按照曾谨言的书里球坐标的表示方式,与z轴的夹角也应该是cita吧?真正的答案到底是多少啊?}

1 这题好像没什么意义,问一个量子态角动量指向哪本身没意义的事
Ylm是角动量第三分量Lz=m的本征态,指向z轴（m 为正）或z轴负方向(m为负)
但是它并不是Lx或Ly的本征态（除非l=m=0）
所以它不会是总角动量算符L的本征态
d答案肯定是错的,Ylm(cita,fai)是变量为cita,fai的函数,cita,fai又不是常数...
还有一种看法,l,m对应于角动量L^2=l(l+i)hbar^2,Lz=m hbar
所以它虽然不是lx和ly的本征态,但是是Lx^2+Ly^2=l(l+1)-m^2的本征态
所以还有一个可能答案是arc cos [m/(l^2+l)^0.5]
2
对向量(非算符)(aXb)Xc=(a.c)b-(b.c)a
对算符的话由于有非对易的问题,所以不能只这么写,要保持原有顺序,后一项写成-a(b.c),但第一项还是比较难写开的,但由于在你的问题里b=c=r,所以没问题
证明
记d=aXb,e=dXc
e1=d2c3-d3c2
d2=a3b1-a1b3
d3=a1b2-a2b1
因此e1=a3b1c3-a1b3c3-a1b2c2+a2b2c2=(a2c2+a3c3)b1-a1(b2c2+b3c3)+a1b1c1-a1b1c1
=(a1c1+a2c2+a3c3)b1-(b1c1+b2c2+b3c3)a1=(a.c)b1-(b.c)a1
其他两分量同理
建议你自己验证下在你的问题里这个证明有效.

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