求一道二次函数动点问题,快

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/26 15:10:07

求一道二次函数动点问题,快
如图,点P从O点出发,以每秒一个单位的速度沿X轴正方向移动,过P作X轴的垂线与y=1/2x交于点A,以PA为一边向右作正方形PABC,当P点运动4秒的时候,点Q从P出发,沿PA-AB-BC运动,速度是每秒2个单位,当Q与C重合时,P、Q两点同时停止运动,设Q点运动的时间为t秒,三角形OPQ的面积为S.
1）求S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围
2）求S的最大值.

由题意得：P运动4秒时,P的坐标为(4,0)；Q点运动路程s[Q]=2t,x[P]=(4+t),y[A]=(4+t)/2
（1）、Q在PA上时,s[Q]≤y[A]=(4+t)/2,得：t≤4/3(s)
此时：
S[OPQ]=f(t)=x[P]•y[Q]/2=(4+t)•2t/2=t(t+4)=t^2+4t,
MAX[S[OPQ]]= f(4/3)=16/9+16/3=64/9
（2）、Q在AB上时,y[A]≤s[Q]≤2y[A],得：4/3≤t≤4(s)
此时：
S[OPQ]= f(t)=x[Q]•y[A]/2=(s[Q]-y[A]+x[P]) *y[A]/2
=(2t-(4+t)/2+4+t)•(4+t)/4=(5t+4)•(t+4)/8=(5t^2+24t+16)/8
MAX[S[OPQ]]= f(4)=24×8/8=24
（3）、Q在BC上时,2y[A]≤s[Q]≤3y[A],得：4≤t≤12(s)
此时：
S[OPQ]= f(t)=x[C]•y[Q]/2=(x[P]+y[A])•(3y[A]-s[Q])/2
=(4+t+(4+t)/2)•(3(4+t)/2-2t)/2=3(4+t)•(12-t)/8=3(48+8t-t^2)/8
MAX[S[OPQ]]= f(4)=3×8×8/8=24.
所以S的最大值为24.

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