作业帮求函数的定积分!打钩那两题我做对了吗?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/21 07:14:15
求函数的定积分!打钩那两题我做对了吗?
第一题结果：
π - 2
第二题结果：
(1/2)[e^(π/2) - 1]
注意原式在后面的运算过程中会循环出现的,将它移到左边去.
如果对于积分限有混乱的话,可以先把不定积分算出来,然后再代入积分限
再问： 我看到书本类似的例题，为什么我那样做不对呢？
再答： 你没发现第二步就把e^x弄没了吗？这是不可能的 ∫ e^x*cosx dx = ∫ cosx de^x，注意分部积分法的方法 = e^x*cosx - ∫ e^x d(cosx)，两个函数调换了位置 = e^x*cosx - ∫ e^x * (- sinx) dx，再来一个分部积分 = e^x*cosx + ∫ sinx de^x = e^x*cosx + e^x*sinx - ∫ e^x d(sinx) = e^x*cosx + e^x*sinx - ∫ e^x*cosx dx，最后一项跟原式重复，移过左边 2∫ e^x*cosx dx = e^x*(cosx + sinx) 于是∫ e^x*cosx dx = (1/2)*e^x*(cosx + sinx)，代入积分限可以了 第二个也是同样方法：这里你错的最严重的地方就是竟能将x²和sinx拆开了？那可是乘积关系呢？ ∫ x²sinx dx = ∫ x² d(- cosx) = - x²cosx + ∫ cosx d(x²) = - x²cosx + ∫ cosx*2x dx = - x²cosx + 2∫ x d(sinx) = - x²cosx + 2xsinx - 2∫ sinx dx = - x²cosx + 2xsinx + 2cosx + C 这里分部积分法就是先把一个函数弄进d里，是积分过程 例如第一个的e^x dx = d(e^x)和第二个的sinx dx = d(- cosx) 调换位置后就是换做另一个函数在d里面了，于是将其拉出来，是微分(求导)过程 例如d(sinx) = cosx dx和d(x²) = 2x dx
再问： 我是被这道题给混淆了，这是老师给出的例题？这个不对吗？
再答： 不对，你怎么能将乘积的关系变为加减关系的？ 难道a*b = a + b吗？ 这个性质只有对数函数才能用，ln(ab) = ln(a) + ln(b)，ln(a/b) = ln(a) - ln(b) ∫(1→e) lnx/x² dx = ∫(1→e) lnx d(- 1/x) = - 1/x * lnx |(1→e) + ∫(1→e) 1/x d(lnx) = - 1/e * lne + 1 * ln(1) + ∫(1→e) 1/x² dx = - 1/e - 1/x |(1→e) = - 1/e - (1/e - 1) = 1 - 2/e = (e - 2)/e
π - 2
第二题结果：
(1/2)[e^(π/2) - 1]
注意原式在后面的运算过程中会循环出现的,将它移到左边去.
如果对于积分限有混乱的话,可以先把不定积分算出来,然后再代入积分限
再问： 我看到书本类似的例题，为什么我那样做不对呢？
再答： 你没发现第二步就把e^x弄没了吗？这是不可能的 ∫ e^x*cosx dx = ∫ cosx de^x，注意分部积分法的方法 = e^x*cosx - ∫ e^x d(cosx)，两个函数调换了位置 = e^x*cosx - ∫ e^x * (- sinx) dx，再来一个分部积分 = e^x*cosx + ∫ sinx de^x = e^x*cosx + e^x*sinx - ∫ e^x d(sinx) = e^x*cosx + e^x*sinx - ∫ e^x*cosx dx，最后一项跟原式重复，移过左边 2∫ e^x*cosx dx = e^x*(cosx + sinx) 于是∫ e^x*cosx dx = (1/2)*e^x*(cosx + sinx)，代入积分限可以了 第二个也是同样方法：这里你错的最严重的地方就是竟能将x²和sinx拆开了？那可是乘积关系呢？ ∫ x²sinx dx = ∫ x² d(- cosx) = - x²cosx + ∫ cosx d(x²) = - x²cosx + ∫ cosx*2x dx = - x²cosx + 2∫ x d(sinx) = - x²cosx + 2xsinx - 2∫ sinx dx = - x²cosx + 2xsinx + 2cosx + C 这里分部积分法就是先把一个函数弄进d里，是积分过程 例如第一个的e^x dx = d(e^x)和第二个的sinx dx = d(- cosx) 调换位置后就是换做另一个函数在d里面了，于是将其拉出来，是微分(求导)过程 例如d(sinx) = cosx dx和d(x²) = 2x dx
再问： 我是被这道题给混淆了，这是老师给出的例题？这个不对吗？
再答： 不对，你怎么能将乘积的关系变为加减关系的？ 难道a*b = a + b吗？ 这个性质只有对数函数才能用，ln(ab) = ln(a) + ln(b)，ln(a/b) = ln(a) - ln(b) ∫(1→e) lnx/x² dx = ∫(1→e) lnx d(- 1/x) = - 1/x * lnx |(1→e) + ∫(1→e) 1/x d(lnx) = - 1/e * lne + 1 * ln(1) + ∫(1→e) 1/x² dx = - 1/e - 1/x |(1→e) = - 1/e - (1/e - 1) = 1 - 2/e = (e - 2)/e