作业帮数学题一道,e^2),感觉好像不太对,希望高手们帮我看看,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/24 03:27:52
数学题一道,e^2),感觉好像不太对,希望高手们帮我看看,
曲边梯形由曲线y=e^x,y=0,x=1,x=5所围成,过曲线y=e^x,x∈[1,5]上一点p作切线,使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的梯形,这时点p的坐标是（ ）
曲边梯形由曲线y=e^x,y=0,x=1,x=5所围成,过曲线y=e^x,x∈[1,5]上一点p作切线,使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的梯形,这时点p的坐标是（ ）
你的答案是对的
设p点坐标为（m,e^m）,则 切线的斜率为k=e^m 【一阶导数是切线的斜率】
设切线方程：y=kx+b
把p点坐标代入直线方程可求的截距b=e^m-m*e^m＜0
切线方程为：y=e^m*x+(1-m)*e^m
那么切出来的梯形的面积为
S=(|k+b|+|5k+b|)*(5-1)/2=2*(|2-m|+|6-m|)*e^m 1≤m≤5
①当1≤m≤2时,S=4*（4-m）*e^m
②当2＜m≤5时,S=8*e^m
①：S=4*（4-m）*e^m求导得S'=4*[(4-m)*e^m-e^m]=4*(3-m)*e^m＞0 【1≤m≤2】
∴S=4*（4-m）*e^m在[1,2]上单调增,且当m=2时有最大值Smax=8e^2
②：当m＞2时,切线方程中令y=0,解得x=m-1＞1,无法构成梯形,四条直线（y=0,x=1,x=5,过点P的切线）构成的两个三角形
综上所述,当m=2时,梯形面积有最大值8e^2,此时p点坐标为（2,e^2）
PS:当m=2时,实际上构成的图形是三角形,算是一种上底长为0的特殊梯形吧···
设p点坐标为（m,e^m）,则 切线的斜率为k=e^m 【一阶导数是切线的斜率】
设切线方程：y=kx+b
把p点坐标代入直线方程可求的截距b=e^m-m*e^m＜0
切线方程为：y=e^m*x+(1-m)*e^m
那么切出来的梯形的面积为
S=(|k+b|+|5k+b|)*(5-1)/2=2*(|2-m|+|6-m|)*e^m 1≤m≤5
①当1≤m≤2时,S=4*（4-m）*e^m
②当2＜m≤5时,S=8*e^m
①：S=4*（4-m）*e^m求导得S'=4*[(4-m)*e^m-e^m]=4*(3-m)*e^m＞0 【1≤m≤2】
∴S=4*（4-m）*e^m在[1,2]上单调增,且当m=2时有最大值Smax=8e^2
②：当m＞2时,切线方程中令y=0,解得x=m-1＞1,无法构成梯形,四条直线（y=0,x=1,x=5,过点P的切线）构成的两个三角形
综上所述,当m=2时,梯形面积有最大值8e^2,此时p点坐标为（2,e^2）
PS:当m=2时,实际上构成的图形是三角形,算是一种上底长为0的特殊梯形吧···