求分段函数的导在 x=0处是否连续

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/24 16:15:31

求分段函数的导在 x=0处是否连续

答：
x=0,f(x)=1
x≠0,f(x)=(sinx)/x -x
求导：
f'(x)=(cosx)/x-(sinx)/x²-1
=(xcosx-sinx-x²)/x²
lim(x→0) f'(x)
=lim(x→0) (xcosx-sinx-x²)/x² 0---0型可导,应用洛必达法则
=lim(x→0) (cosx-xsinx-cosx-2x)/(2x)
=lim(x→0) (-sinx-2)/2
=(-0-2)/2
=-1
所以：f'(x)在x=0处连续
f''(x)=(cosx-xsinx-cosx)/x²-2(xcosx-sinx)/x³
=(-x²sinx-2xcosx+2sinx)/x³
lim(x→0) f''(x)
=lim(x→0) (-x²sinx-2xcosx+2sinx)/x³ (0----0型可导,应用洛必达法则）
=lim(x→0) (-2xsinx-x²cosx-2cosx+2xsinx+2cosx)/(3x²)
=lim(x→0) (-cosx)/3
=-1/3
所以：x=0处f'(x)可导

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