在如图所示的直角坐标系中,A,B是X轴上的两点,以AB为直径的圆交Y轴于C,设过A,B,C三点的抛物线的解析式为 Y=X

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 16:36:08

在如图所示的直角坐标系中,A,B是X轴上的两点,以AB为直径的圆交Y轴于C,设过A,B,C三点的抛物线的解析式为 Y=XX-MX+N,方程XX-MX+N=0的两根倒数和为-2.
（1）求N的值
（2）求此抛物线的解析式
（3）设平行于X轴的直线交此抛物线于E,F两点,问是否存在以线段E,F为直径的圆恰好与X轴相切?若存在,求出此圆的半径；若不存在,说明理由.

（1）设A（a,0）,B（b,0）,圆AB与Y轴有交点,所以a和b一正一负.
因为过A,B,C的抛物线为Y=XX-MX+N,所以C（0,N）N不等于0
AB是直径,那么三角形ABC是直角三角形,角C是直角,CO垂直于AB,所以CO的平方=AO*BO
即NN=|ab|=-N,
解方程得N=-1.
（2）方程XX-MX+N=0的两根倒数和为-2
即1/a+1/b=（a+b）/ab=M/N=-2得M=2
抛物线的解析式为
Y=XX-2X-1
（3）抛物线的对称轴为X=1
所以可以假设圆EF的圆心为D（1,d）
E（e,d）,F（f,d）
假设存在这样的圆与X轴相切,那么EF=|f-e|=2|d|
把E,F代入抛物线得
ee-2e-1=d
ff-2f-1=d
将|f-e|=2|d|两边平方得ff-2fe+ee=（f+e）*（f+e）-4fe=4dd
f,e是方程xx-2x-1-d=0的解,所以
（f+e）*（f+e）-4fe=2*2-4*（-1-d）=8+4d=4dd,
化简得dd-d-2=0,解方程的d=2或d=-1,且d均在抛物线的有效区间内,是有效解.
所以存在这样的圆,且有两个