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在△ABC的边BC、AC与AB上取点A1、B1、C1,线段A1B1、B1C1、C1A1分△ABC为四个面积

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/01 07:43:51
在△ABC的边BC、AC与AB上取点A1、B1、C1,线段A1B1、B1C1、C1A1分△ABC为四个面积
在△ABC的边BC、CA与AB上取点A1、B1、C1,线段A1B1、B1C1、C1A1分△ABC为四个面积相等三角形,求证:A1、B1、C1是△ABC各边中点.
紧急!
如图,给各边取名后,a=a1+a2;b=b1+b2;c=c1+c2
(1)的面积=1/2*b2*c1*sinA=1/4*1/2*b*c*sinA=1/4 △ABC的面积
故:b2*c1=1/4*b*c
类似地可以得到:c2*a1=1/4*c*a和a2*b1=1/4*a*b
将上述结果转换代入下式:
1=(a1+a2)/a=((c/c2)+(b/b1))/4=(((c1+c2)/c2)+((b1+b2)/b1))/4
故:a2/a1+b1/b2=2
类似地可以得到:b2/b1+c1/c2=2和c2/c1+a1/a2=2
将上述三式相加:
(a2/a1+b1/b2)+(b2/b1+c1/c2)+(c2/c1+a1/a2)
=(a2/a1+a1/a2)+(b2/b1+b1/b2)+(c2/c1+c1/c2)
大于等于:(2根号a2/a1*a1/a2)+(2根号b2/b1*b1/b2)+(2根号c2/c1*c1/c2)
即大于等于6,当且仅当“a2/a1=a1/a2且b2/b1=b1/b2且c2/c1=c1/c2”时取得等号
由于本题中恰好取得最小值6,故:a1=a2且b1=b2且c1=c2
得证