作业帮求一个讲有理数单元的备课
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 03:39:41
求一个讲有理数单元的备课
【里头要有问的问题,有理数的定义···还有一些基础的什么什么的···写的好点】我明天要为同学们讲课啊啊啊····哦,我是初中生.
【里头要有问的问题,有理数的定义···还有一些基础的什么什么的···写的好点】我明天要为同学们讲课啊啊啊····哦,我是初中生.
你是要带练习题的还是纯定义的知识点?我这里有两个一个带练习题,一个是纯知识点,你看一看吧!
带练习题的：
知识归纳]
正确判断正负数
大于零的数是正数,在正数前面加上“一”的数叫做负数,0既不是正数也不是负数.若向东走3步,记作“十3”,那么向西走3步,就记作‘一3’等等.
有理数的分类
①按定义分： ②按正负性分：
数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴,数轴的两端可以无限延长,原点、正方向和单位长度是数轴的三要素,缺一不可.任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示.但数轴上的点未必都是有理数.
相反数
只有符号不同的两个数称为互为相反数.0的相反数是0,在数轴上表示互为相反数的两个点分别在原点两侧,并且与原点的距离相等.
绝对值
在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值.可见一个数的绝对值一定是非负数.具体应用时分为三类：正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.由此可知,绝对值是它本身的数是正数和0,即非负数,绝对值是它相反数的数是负数和0.
有理数的大小比较
正数大于0,负数小于0；两个负数比较大小,绝对值大的反而小.数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大.
有理数的加减运算
加法是基础,减法可转化为加法,加减可统一成加法.进行加减运算时,一定要先确定结果的符号,再确定结果的绝对值.进行有理数加减混合运算时,一般是将减数变号后写成加数,转化为加法并适当运用加法交换律、结合律,达到简化计算的目的.
有理数的乘法、除法、乘方的运算
两数相乘,同号得正,异号得负,并绝对值相乘；除以一个数等于乘以这个数的倒数,由此除法可转化为乘法.0乘以任何数都等于0,0不能做除数.乘方运算时,要分清底数和指数,特别是指数的含义,多个有理数进行乘除混合运算时,要注意利用乘法交换律、结合律,使运算简化.
有理数的混合运算
有理数的混合运算的顺序是：先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,先算括号里面的.若遇到比较复杂的乘方运算,可用计算器,要注意正确使用计算器.
10、近似数与有效数字
近似数的精确度有两种表示形式：一是精确到哪一位,二是保留几个有效数字.如3.0145四舍五入后得3.01,其精确度是：（1）精确到0.01（或说成精确到百分位）（2）保留三个有效数字.
有效数字：从左边第一个不是零的数字起,到末位数字止,所有的数字（包括零、重复的数字）都是这个数的有效数字.
[典例赏析]
有理数一章中的数轴、相反数、绝对值、科学记数法以及有理数的运算等都是历年各地中考的必考知识点.现就其常见的考查典型例题分类归纳如下.
1.考查正负数
例1（1）吐鲁番盆地低于海平面155m,记作一155m；福州鼓山绝顶峰高于海平面919m,记作 m.
（2）若李明同学家里去年收入3万元,记作3万元,则去年支出2万元,记作 元.
分析：上述两题利用正负数的概念求解.
（1）若吐鲁番盆地低于海平面155m,记作一155m,福州鼓山绝顶峰高于海平面919m,记作+919m.应填+919m.
（2）若李明同学家里去年收入3万元,记作3万元,则去年支出2万元,记作一2万元.应填一2万元.
2.考查相反数、绝对值
例2、（1）的相反数是 ；的绝对值是
（2）若m、n互为相反数,则=
分析：正确理解相反数、绝对值的意义是解答本题的关键.
（1）应填,.
（2）m+n=0, 则=1.
3.考查数轴
例3、在数轴上,与表示一1的点的距离为3的点所表示的数是 .
分析：本例主要考查同学们数形结合的思想,如若A、B两点到一1表示的点的距离均为3,则由数轴表示的数可看出为2或一4.
答案：2或-4.
4.考查有理数的分类
例4、有理数中,属于负数的有 ,属于整数的有
分析：判别一个有理数的属性,不能仅凭表面上的感觉,往往要经过整理化简才能下结论.
因为所以属于负数的有,属于整数的有.
5.考查有理数大小的比较
例5、比较的大小,结果正确的是（）
A、 B、 C、 D、
分析：因为正数大于一切负数,因此不难推断是三个数中最大的,而根据两个负数比较大小规则：绝对值大的反而小,可知.
答案：选（A）.
6.考查有理数的计算
例6、计算（1）；
（2）.
分析：进行有理数的混合运算时,一要注意运算的顺序,二要注意符号问题,另外,能使用运算律的,要尽可能运用定律简化计算过程.
（1）
=；
（2）
7.考查科学计数法
例7、据xx年6月9日中央电视台东方时空栏目报道：由于人类对自然界资源的不合理开发与利用,严重破坏了大自然的生态平衡,目前地球上大约45分钟就有一个物种灭绝.照此速度,请你预测：再过10年（每年按365天计算）将有大约（）个物种灭绝.
A、B、C、D、
析本题紧紧抓住中央电视台“东方时空”新闻栏日的报道素材,编写了与科学记数法有关的题目,旨在激发学生树立爰护地球物种的意识,用实际行动保护自然资源,从而达到保持大自然生态平衡的目的.,故选（a)
（八）考查观察探索能力
例8、（1）古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角形数,它有一定的规律性,则第24个三角形与第22个三角形数的差为
分析：要求差就应从差的角度观察,第2个数比第1个数大2,第3个数比第2个数大3,…,第6个数比第5个数大6,…,第23个数比第22个数大23,第24个数比第23个数大24,故第24个三角形与第22个三角形数的差为47.
应填47.
（2）把数字按如图所示排列起来,从上开始,依次为第一行、第二行、第三行……中间用虚线围的一列,从上至下依次为1、5、13、25、……则第10个数为
分析：解答这类找规律的试题时,若根据给出的信息不能发现规律,可继续写出几个符合题意的数,从而找出其规律所在.
观察数1、5、13、25、……可以发现他们依次大4,8,12,……,即
因此第10个数为：
纯知识点：
第一章 有理数
1．1正数和负数
▲正数：大于0的数叫做正数（正号可省略不写）,如3, 2.9,1.8％等.
▲负数：在正数前面加上 “－”号的数叫做负数,如－3,－1.78,－2.7％等.
▲性质符号：符号“＋”与 “－”放在一个数前面表示这个数的正、负性时,叫做性质符号.“＋”叫做正号、“－”叫做负号.
注意：对于正数和负数,不能简单理解为带“＋”号的数是正数,带“－”号的数是负数.正数、0、负数前带“＋”号,结果分别是正数、0、负数；正数、0、负数前带“－”号,结果分别是负数、0、正数.
▲运算符号：表示进行数字之间计算的符号,如“＋”、“－”、“×”、“÷”等叫做运算符号.
▲0既不是正数,也不是负数.它是正负数的分界,是唯一的中性数.
1．2有理数
▲正整数、0、负整数统称为整数.正分数、负分数统称为分数.
▲有理数：整数和分数统称为有理数.
有理数 或 有理数
▲正有理数和0称为非负有理数；负有理数和0称为非正有理数.
▲数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
数轴的画法：①画一条水平的直线,在直线上选取适当的一点为原点；②确定向右为正方向,用箭头表示出来；③根据需要,选取适当的长度为单位长度；④直线上从原点向右、向左每隔一个单位长度取一点,依次标出1, 2, 3,…；－1,－2,－3,….
数轴上的点与有理数之间的关系：⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,但数轴上的点并不都表示有理数；⑵正数可以用原点右边的点表示,反过来原点右边的点都表示正数,负数可以用原点左边的点表示,反过来原点左边的点都表示负数,零用原点表示,反过来原点表示零；⑶零是正数和负数的分界点.
▲相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.0的相反数仍是0.
相反数的表示：数a的相反数是－a,这里的数a是任意有理数,即a可以是正数、负数或0.当a＞0时,－a＜0（正数的相反数是负数）；当a＜0时,－a＞0（负数的相反数是正数）；当a＝0时,－a＝0（0的相反数是0）.
相反数的特性：若a、b互为相反数,则a+b＝0；反之,若a+b＝0,则a、b互为相反数.
▲绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记做|a|.这里的数a是任意有理数,即a可以是正数、负数和0.
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
无论a取任何有理数,都有|a|≥0,即任何一个有理数的绝对值都是非负数.绝对值等于它本身的数是正数和0；绝对值等于它的相反数的数是负数和0.即：
↗
a=0时,|a|=a=-a
↘
绝对值的求法：绝对值是一种运算,求一个数的绝对值,就是根据绝对值的意义,去掉绝对号.求法是：一判二求,即先判断绝对号里的是正数、负数还是0,再由绝对值的意义去掉绝对值的符号,求得结果.
▲有理数大小的比较法则：（1）在数轴上表示的有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,即左边的数总比右边的数小；（2）任何正数大于0和负数,任何负数小于0和正数；（3）两个正数中,绝对值较大的数较大；（4）两个负数中,绝对值较大的反而小.
比较方法：（1）两数比较用法则；(2)多数比较用数轴；（3）字母比较用特值.
▲有理数的性质：1）有序性：每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示,这些表示有理数的点称为有理点.所以说有理数和数轴上的有理点是一一对应的.数轴上有理点有左右位置的不同,有理数就有大小的不同,所以任意两个有理数都可以比较它们的大小.有理数能比较大小的性质,叫做它的有序性.2）自封性：任意两个有理数的和、差、积、商（除数不等于0）仍然是有理数；进一步说,几个有理数经过有限次的四则运算仍是有理数.3）稠密性：任意两个有理数之间有无限多个有理数存在.
▲非负数的性质和特点：非负数指的是0和正数.⑴绝对值是非负数,即|a|≥0；⑵若|a|=0,则a=0；⑶|a|=m时,则a=±m；⑷如果几个非负数的和等于0,则每一个非负数都是0.
1．3有理数的加减法
▲有理数加法法则：
①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,互为相反数的两个数相加得0.
③一个数同0相加,仍得这个数.
助记口诀：同号相加值（绝对值）相加,符号同原不变它；异号相加值（绝对值）相减,符号就把大的抓；相反两数来相加,结果是零须记好；与0相加值不变,观察特点是法宝.
加法运算的步骤：1）观察两个数的符号是同号还是异号,有没有0；2）确定运算符合那条法则,明确结果的符号；3）进行绝对值的计算求出结果.
有理数加法的运算律有加法交换律和加法结合律.灵活运用加法的运算律,可以简化运算过程,通常有如下规律：①互为相反数的两个数先相加（相反数结合法）；②符号相同的数先相加（同号结合法）；③分母相同的数先相加（同分母结合法）；④几个数相加能得到整数,先相加（凑整法）；⑤整数与整数、分数与分数、小数与小数相加（同形结合法）.
▲有理数减法法则：减去一个数,等于加上这个数的相反数.式子表示：a－b=a＋（－b）.注意：将减法转化为加法时,要同时改变两个：一是减号变加号；二是减数同时变为它的相反数.
助记口诀：减负等于加正,减正等于加负.
▲代数和：表示若干个正数、负数或零的和的式子,叫做代数和.在代数和中,性质符号和运算符号可以统一起来,因此两种符号可以转化.
▲引入负数后：1）符号“+”变成了双重意义：在有理数中,它除了表示相加外,还表示性质符号,把它放在一个非零的数的前面时,表示这个数是正数.2）符号“－”变成了四重意义：①表示运算符号——减号,它不能单独与数出现,这时只呈现于式子之中；②表示性质符号——负数,把它放在一个正数前面,所得的数就叫做负数；③表示关系符号——相反数,把它放在一个数的前面,所得的数就叫做这个数的相反数；④表示特殊意义——有理数－1,符号“－”可以看作“－1”的省略,如－a可以看作（－1）×a等.3）整数的个数变多了,分数的个数也变多了.4）最小的整数没有了,在有理数中,只有最小的正整数1和最大的负整数－1.
▲有理数加减的混合运算,把减法变为加法,省略括号和括号前面的加号,随意交换结合.在交换加数的位置时,要带着加数前面的符号一同交换.
1．4有理数的乘除法
▲有理数乘法法则：（1）两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘,都得0；（3）几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定：当负因数的个数是偶数时,积是正数；当负因数的个数是奇数时,积是负数；（4）几个数相乘,如果其中有一个因数为0,积就等于0.
助记口诀：同号得正异号负,一项为零积是0.多个有理数相乘,负号当家起作用,奇负偶正规律定,一数为0必得0.
有理数乘法的运算律有乘法交换律、乘法结合律和分配律.
有理数乘法的计算步骤：先确定积的符号,再把各个乘数的绝对值相乘,作为积的绝对值.
▲倒数：乘积是1的两个数互为倒数.
倒数求法：⑴求带分数的倒数,先把带分数化为假分数,然后将分子分母颠倒位置,符号不变；⑵求小数的倒数有两种方法,一是将小数化为分数,然后将分子分母颠倒位置,二是用1除以这个小数.
倒数的特性：若a、b互为倒数,则ab=1；反之,若ab=1,则a、b互为倒数.
▲有理数除法法则：除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.这个法则也可以表示成：a÷b=a·（b≠0）.（不能整除时选用）
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数,都得0.（能整除时选用）
▲有理数乘除的混合运算,先将除法转化为乘法,然后确定积的符号,可以整体约分,最后求出结果.
1．5有理数的乘方
▲乘方：求n个相同因数的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂.在 中,叫做底数,n叫做指数.读作的n次方或的n次幂.
因为就是n个a相乘,所以可以利用有理数乘法运算进行有理数的乘方运算.一个数可以看作这个数本身的一次方（a就是a）,指数1通常省略不写.
有理数乘方法则：负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0.
▲有理数的混合运算顺序：1）先算乘方,再算乘除,最后算加减；2）同级运算按从左到右的顺序进行；3）如果有括号,按小括号→中括号→大括号→括号外的顺序运算；4）利用运算律,可不按上面的常规顺序.
助记口诀：有理数运算并不难,符号第一记心间；加法须取大值号,乘除同正异负添.减变加改相反数,除改乘法用倒数.混合运算讲顺序,乘方、乘除后加减.
▲有理数a,b,c满足下列运算律：a+b=b+a （加法交换律）；(a+b)+c=a+(b+c)（加法结合律）； a•b=b•a （乘法交换律）； (a•b)•c=a•(b•c) （乘法结合律）；
a•(b+c)=ab+ac （分配律）
▲科学记数法：把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数1≤|a|＜10,n是整数）叫科学计数法.n为整数位数减1.
▲精确数：在实际问题中,与实际相符的数就是精确数.
▲近似数：在实际问题中,与实际准确数字接近的数为近似数.
近似数的取法：①去尾法；②进一法；③四舍五入法.
▲精确度：一个近似数对于它所表示的准确数误差的程度叫做这个近似数的精确度.两种形式：一是精确到哪一位,二是保留几个有效数字,两者意义不同.
▲有效数字：一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到末位数字止,所有的数字都是这个数的有效数字.
有效数字的确定：（1）对一般数字的近似数有两个原则：一是非零数字都是有效数字；二是前面的“0”都不是有效数字,夹在非零数字中间的“0”和后面的“0”都是有效数字.（2）对用科学记数法表示的数：由（1≤|a|＜10）中的a确定,a的有效数字就是这个近似数的有效数字,与n无关.（3）对带有记数单位的近似数,方法同（2）,如1.2万,它有两个有效数字1、2.
带练习题的：
知识归纳]
正确判断正负数
大于零的数是正数,在正数前面加上“一”的数叫做负数,0既不是正数也不是负数.若向东走3步,记作“十3”,那么向西走3步,就记作‘一3’等等.
有理数的分类
①按定义分： ②按正负性分：
数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴,数轴的两端可以无限延长,原点、正方向和单位长度是数轴的三要素,缺一不可.任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示.但数轴上的点未必都是有理数.
相反数
只有符号不同的两个数称为互为相反数.0的相反数是0,在数轴上表示互为相反数的两个点分别在原点两侧,并且与原点的距离相等.
绝对值
在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值.可见一个数的绝对值一定是非负数.具体应用时分为三类：正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.由此可知,绝对值是它本身的数是正数和0,即非负数,绝对值是它相反数的数是负数和0.
有理数的大小比较
正数大于0,负数小于0；两个负数比较大小,绝对值大的反而小.数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大.
有理数的加减运算
加法是基础,减法可转化为加法,加减可统一成加法.进行加减运算时,一定要先确定结果的符号,再确定结果的绝对值.进行有理数加减混合运算时,一般是将减数变号后写成加数,转化为加法并适当运用加法交换律、结合律,达到简化计算的目的.
有理数的乘法、除法、乘方的运算
两数相乘,同号得正,异号得负,并绝对值相乘；除以一个数等于乘以这个数的倒数,由此除法可转化为乘法.0乘以任何数都等于0,0不能做除数.乘方运算时,要分清底数和指数,特别是指数的含义,多个有理数进行乘除混合运算时,要注意利用乘法交换律、结合律,使运算简化.
有理数的混合运算
有理数的混合运算的顺序是：先算乘方,再算乘除,最后算加减,如果有括号,先算括号里面的.若遇到比较复杂的乘方运算,可用计算器,要注意正确使用计算器.
10、近似数与有效数字
近似数的精确度有两种表示形式：一是精确到哪一位,二是保留几个有效数字.如3.0145四舍五入后得3.01,其精确度是：（1）精确到0.01（或说成精确到百分位）（2）保留三个有效数字.
有效数字：从左边第一个不是零的数字起,到末位数字止,所有的数字（包括零、重复的数字）都是这个数的有效数字.
[典例赏析]
有理数一章中的数轴、相反数、绝对值、科学记数法以及有理数的运算等都是历年各地中考的必考知识点.现就其常见的考查典型例题分类归纳如下.
1.考查正负数
例1（1）吐鲁番盆地低于海平面155m,记作一155m；福州鼓山绝顶峰高于海平面919m,记作 m.
（2）若李明同学家里去年收入3万元,记作3万元,则去年支出2万元,记作 元.
分析：上述两题利用正负数的概念求解.
（1）若吐鲁番盆地低于海平面155m,记作一155m,福州鼓山绝顶峰高于海平面919m,记作+919m.应填+919m.
（2）若李明同学家里去年收入3万元,记作3万元,则去年支出2万元,记作一2万元.应填一2万元.
2.考查相反数、绝对值
例2、（1）的相反数是 ；的绝对值是
（2）若m、n互为相反数,则=
分析：正确理解相反数、绝对值的意义是解答本题的关键.
（1）应填,.
（2）m+n=0, 则=1.
3.考查数轴
例3、在数轴上,与表示一1的点的距离为3的点所表示的数是 .
分析：本例主要考查同学们数形结合的思想,如若A、B两点到一1表示的点的距离均为3,则由数轴表示的数可看出为2或一4.
答案：2或-4.
4.考查有理数的分类
例4、有理数中,属于负数的有 ,属于整数的有
分析：判别一个有理数的属性,不能仅凭表面上的感觉,往往要经过整理化简才能下结论.
因为所以属于负数的有,属于整数的有.
5.考查有理数大小的比较
例5、比较的大小,结果正确的是（）
A、 B、 C、 D、
分析：因为正数大于一切负数,因此不难推断是三个数中最大的,而根据两个负数比较大小规则：绝对值大的反而小,可知.
答案：选（A）.
6.考查有理数的计算
例6、计算（1）；
（2）.
分析：进行有理数的混合运算时,一要注意运算的顺序,二要注意符号问题,另外,能使用运算律的,要尽可能运用定律简化计算过程.
（1）
=；
（2）
7.考查科学计数法
例7、据xx年6月9日中央电视台东方时空栏目报道：由于人类对自然界资源的不合理开发与利用,严重破坏了大自然的生态平衡,目前地球上大约45分钟就有一个物种灭绝.照此速度,请你预测：再过10年（每年按365天计算）将有大约（）个物种灭绝.
A、B、C、D、
析本题紧紧抓住中央电视台“东方时空”新闻栏日的报道素材,编写了与科学记数法有关的题目,旨在激发学生树立爰护地球物种的意识,用实际行动保护自然资源,从而达到保持大自然生态平衡的目的.,故选（a)
（八）考查观察探索能力
例8、（1）古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,…叫做三角形数,它有一定的规律性,则第24个三角形与第22个三角形数的差为
分析：要求差就应从差的角度观察,第2个数比第1个数大2,第3个数比第2个数大3,…,第6个数比第5个数大6,…,第23个数比第22个数大23,第24个数比第23个数大24,故第24个三角形与第22个三角形数的差为47.
应填47.
（2）把数字按如图所示排列起来,从上开始,依次为第一行、第二行、第三行……中间用虚线围的一列,从上至下依次为1、5、13、25、……则第10个数为
分析：解答这类找规律的试题时,若根据给出的信息不能发现规律,可继续写出几个符合题意的数,从而找出其规律所在.
观察数1、5、13、25、……可以发现他们依次大4,8,12,……,即
因此第10个数为：
纯知识点：
第一章 有理数
1．1正数和负数
▲正数：大于0的数叫做正数（正号可省略不写）,如3, 2.9,1.8％等.
▲负数：在正数前面加上 “－”号的数叫做负数,如－3,－1.78,－2.7％等.
▲性质符号：符号“＋”与 “－”放在一个数前面表示这个数的正、负性时,叫做性质符号.“＋”叫做正号、“－”叫做负号.
注意：对于正数和负数,不能简单理解为带“＋”号的数是正数,带“－”号的数是负数.正数、0、负数前带“＋”号,结果分别是正数、0、负数；正数、0、负数前带“－”号,结果分别是负数、0、正数.
▲运算符号：表示进行数字之间计算的符号,如“＋”、“－”、“×”、“÷”等叫做运算符号.
▲0既不是正数,也不是负数.它是正负数的分界,是唯一的中性数.
1．2有理数
▲正整数、0、负整数统称为整数.正分数、负分数统称为分数.
▲有理数：整数和分数统称为有理数.
有理数 或 有理数
▲正有理数和0称为非负有理数；负有理数和0称为非正有理数.
▲数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
数轴的画法：①画一条水平的直线,在直线上选取适当的一点为原点；②确定向右为正方向,用箭头表示出来；③根据需要,选取适当的长度为单位长度；④直线上从原点向右、向左每隔一个单位长度取一点,依次标出1, 2, 3,…；－1,－2,－3,….
数轴上的点与有理数之间的关系：⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,但数轴上的点并不都表示有理数；⑵正数可以用原点右边的点表示,反过来原点右边的点都表示正数,负数可以用原点左边的点表示,反过来原点左边的点都表示负数,零用原点表示,反过来原点表示零；⑶零是正数和负数的分界点.
▲相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.0的相反数仍是0.
相反数的表示：数a的相反数是－a,这里的数a是任意有理数,即a可以是正数、负数或0.当a＞0时,－a＜0（正数的相反数是负数）；当a＜0时,－a＞0（负数的相反数是正数）；当a＝0时,－a＝0（0的相反数是0）.
相反数的特性：若a、b互为相反数,则a+b＝0；反之,若a+b＝0,则a、b互为相反数.
▲绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记做|a|.这里的数a是任意有理数,即a可以是正数、负数和0.
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
无论a取任何有理数,都有|a|≥0,即任何一个有理数的绝对值都是非负数.绝对值等于它本身的数是正数和0；绝对值等于它的相反数的数是负数和0.即：
↗
a=0时,|a|=a=-a
↘
绝对值的求法：绝对值是一种运算,求一个数的绝对值,就是根据绝对值的意义,去掉绝对号.求法是：一判二求,即先判断绝对号里的是正数、负数还是0,再由绝对值的意义去掉绝对值的符号,求得结果.
▲有理数大小的比较法则：（1）在数轴上表示的有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,即左边的数总比右边的数小；（2）任何正数大于0和负数,任何负数小于0和正数；（3）两个正数中,绝对值较大的数较大；（4）两个负数中,绝对值较大的反而小.
比较方法：（1）两数比较用法则；(2)多数比较用数轴；（3）字母比较用特值.
▲有理数的性质：1）有序性：每一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示,这些表示有理数的点称为有理点.所以说有理数和数轴上的有理点是一一对应的.数轴上有理点有左右位置的不同,有理数就有大小的不同,所以任意两个有理数都可以比较它们的大小.有理数能比较大小的性质,叫做它的有序性.2）自封性：任意两个有理数的和、差、积、商（除数不等于0）仍然是有理数；进一步说,几个有理数经过有限次的四则运算仍是有理数.3）稠密性：任意两个有理数之间有无限多个有理数存在.
▲非负数的性质和特点：非负数指的是0和正数.⑴绝对值是非负数,即|a|≥0；⑵若|a|=0,则a=0；⑶|a|=m时,则a=±m；⑷如果几个非负数的和等于0,则每一个非负数都是0.
1．3有理数的加减法
▲有理数加法法则：
①同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.
②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,互为相反数的两个数相加得0.
③一个数同0相加,仍得这个数.
助记口诀：同号相加值（绝对值）相加,符号同原不变它；异号相加值（绝对值）相减,符号就把大的抓；相反两数来相加,结果是零须记好；与0相加值不变,观察特点是法宝.
加法运算的步骤：1）观察两个数的符号是同号还是异号,有没有0；2）确定运算符合那条法则,明确结果的符号；3）进行绝对值的计算求出结果.
有理数加法的运算律有加法交换律和加法结合律.灵活运用加法的运算律,可以简化运算过程,通常有如下规律：①互为相反数的两个数先相加（相反数结合法）；②符号相同的数先相加（同号结合法）；③分母相同的数先相加（同分母结合法）；④几个数相加能得到整数,先相加（凑整法）；⑤整数与整数、分数与分数、小数与小数相加（同形结合法）.
▲有理数减法法则：减去一个数,等于加上这个数的相反数.式子表示：a－b=a＋（－b）.注意：将减法转化为加法时,要同时改变两个：一是减号变加号；二是减数同时变为它的相反数.
助记口诀：减负等于加正,减正等于加负.
▲代数和：表示若干个正数、负数或零的和的式子,叫做代数和.在代数和中,性质符号和运算符号可以统一起来,因此两种符号可以转化.
▲引入负数后：1）符号“+”变成了双重意义：在有理数中,它除了表示相加外,还表示性质符号,把它放在一个非零的数的前面时,表示这个数是正数.2）符号“－”变成了四重意义：①表示运算符号——减号,它不能单独与数出现,这时只呈现于式子之中；②表示性质符号——负数,把它放在一个正数前面,所得的数就叫做负数；③表示关系符号——相反数,把它放在一个数的前面,所得的数就叫做这个数的相反数；④表示特殊意义——有理数－1,符号“－”可以看作“－1”的省略,如－a可以看作（－1）×a等.3）整数的个数变多了,分数的个数也变多了.4）最小的整数没有了,在有理数中,只有最小的正整数1和最大的负整数－1.
▲有理数加减的混合运算,把减法变为加法,省略括号和括号前面的加号,随意交换结合.在交换加数的位置时,要带着加数前面的符号一同交换.
1．4有理数的乘除法
▲有理数乘法法则：（1）两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘,都得0；（3）几个不等于0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定：当负因数的个数是偶数时,积是正数；当负因数的个数是奇数时,积是负数；（4）几个数相乘,如果其中有一个因数为0,积就等于0.
助记口诀：同号得正异号负,一项为零积是0.多个有理数相乘,负号当家起作用,奇负偶正规律定,一数为0必得0.
有理数乘法的运算律有乘法交换律、乘法结合律和分配律.
有理数乘法的计算步骤：先确定积的符号,再把各个乘数的绝对值相乘,作为积的绝对值.
▲倒数：乘积是1的两个数互为倒数.
倒数求法：⑴求带分数的倒数,先把带分数化为假分数,然后将分子分母颠倒位置,符号不变；⑵求小数的倒数有两种方法,一是将小数化为分数,然后将分子分母颠倒位置,二是用1除以这个小数.
倒数的特性：若a、b互为倒数,则ab=1；反之,若ab=1,则a、b互为倒数.
▲有理数除法法则：除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.这个法则也可以表示成：a÷b=a·（b≠0）.（不能整除时选用）
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数,都得0.（能整除时选用）
▲有理数乘除的混合运算,先将除法转化为乘法,然后确定积的符号,可以整体约分,最后求出结果.
1．5有理数的乘方
▲乘方：求n个相同因数的积的运算叫做乘方,乘方的结果叫做幂.在 中,叫做底数,n叫做指数.读作的n次方或的n次幂.
因为就是n个a相乘,所以可以利用有理数乘法运算进行有理数的乘方运算.一个数可以看作这个数本身的一次方（a就是a）,指数1通常省略不写.
有理数乘方法则：负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0.
▲有理数的混合运算顺序：1）先算乘方,再算乘除,最后算加减；2）同级运算按从左到右的顺序进行；3）如果有括号,按小括号→中括号→大括号→括号外的顺序运算；4）利用运算律,可不按上面的常规顺序.
助记口诀：有理数运算并不难,符号第一记心间；加法须取大值号,乘除同正异负添.减变加改相反数,除改乘法用倒数.混合运算讲顺序,乘方、乘除后加减.
▲有理数a,b,c满足下列运算律：a+b=b+a （加法交换律）；(a+b)+c=a+(b+c)（加法结合律）； a•b=b•a （乘法交换律）； (a•b)•c=a•(b•c) （乘法结合律）；
a•(b+c)=ab+ac （分配律）
▲科学记数法：把一个绝对值大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数1≤|a|＜10,n是整数）叫科学计数法.n为整数位数减1.
▲精确数：在实际问题中,与实际相符的数就是精确数.
▲近似数：在实际问题中,与实际准确数字接近的数为近似数.
近似数的取法：①去尾法；②进一法；③四舍五入法.
▲精确度：一个近似数对于它所表示的准确数误差的程度叫做这个近似数的精确度.两种形式：一是精确到哪一位,二是保留几个有效数字,两者意义不同.
▲有效数字：一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到末位数字止,所有的数字都是这个数的有效数字.
有效数字的确定：（1）对一般数字的近似数有两个原则：一是非零数字都是有效数字；二是前面的“0”都不是有效数字,夹在非零数字中间的“0”和后面的“0”都是有效数字.（2）对用科学记数法表示的数：由（1≤|a|＜10）中的a确定,a的有效数字就是这个近似数的有效数字,与n无关.（3）对带有记数单位的近似数,方法同（2）,如1.2万,它有两个有效数字1、2.