作业帮线性代数相似对角化的问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/04 23:59:50
线性代数相似对角化的问题
已知的情况是,1,如果一个n阶矩阵存在n个不为零的特征值,则其行列式值一定不为零,也就是说,其逆矩阵存在,
2,如果一个n阶矩阵存在n个不为零的特征值,但是可能会有这样的情况,如果矩阵存在r个相等的非零特征值,此特征值对应的特征向量个数小于r,则就不存在这样的矩阵p使得矩阵a相似对角化,当然也就不能相似于单位矩阵,既该矩阵不存在逆矩阵,也就是该矩阵行列式值为0!
请问困难在何处,有点乱了.
二楼可否说得再明白一些，比如你所提到的相似，等价，可逆之间的联系区别?我所知道的，好像秩相等就等等价
已知的情况是,1,如果一个n阶矩阵存在n个不为零的特征值,则其行列式值一定不为零,也就是说,其逆矩阵存在,
2,如果一个n阶矩阵存在n个不为零的特征值,但是可能会有这样的情况,如果矩阵存在r个相等的非零特征值,此特征值对应的特征向量个数小于r,则就不存在这样的矩阵p使得矩阵a相似对角化,当然也就不能相似于单位矩阵,既该矩阵不存在逆矩阵,也就是该矩阵行列式值为0!
请问困难在何处,有点乱了.
二楼可否说得再明白一些，比如你所提到的相似，等价，可逆之间的联系区别?我所知道的，好像秩相等就等等价
感觉你想从特征值的角度来讨论矩阵可逆,以及矩阵相似对角化的问题.作以下回答：
首先,n阶矩阵在复数域上一定存在n个特征值（可能有重复）.所以不用为是否有n个特征值烦恼.
其次,n阶矩阵行列式等于所有n个特征值的乘积.因此,如果存在n个不为零的特征值,那么矩阵一定可逆.
再次,你上面分析问题如下：确实矩阵特征值可能存在相等情况,但是并不代表此时线性无关的特征向量少于n个,存在这种情况：一个特征值对应多个特征向量.退一步,即使线性无关的特征向量少于n个,也就是说矩阵不可对角化,但是这与矩阵是否存在逆矩阵完全没有关系.如图的矩阵他是可逆（行列式不等于0）,但是他不可对角化
首先,n阶矩阵在复数域上一定存在n个特征值（可能有重复）.所以不用为是否有n个特征值烦恼.
其次,n阶矩阵行列式等于所有n个特征值的乘积.因此,如果存在n个不为零的特征值,那么矩阵一定可逆.
再次,你上面分析问题如下：确实矩阵特征值可能存在相等情况,但是并不代表此时线性无关的特征向量少于n个,存在这种情况：一个特征值对应多个特征向量.退一步,即使线性无关的特征向量少于n个,也就是说矩阵不可对角化,但是这与矩阵是否存在逆矩阵完全没有关系.如图的矩阵他是可逆（行列式不等于0）,但是他不可对角化