作业帮复变函数,关于cos(z)的值域
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/29 03:06:18
复变函数,关于cos(z)的值域
实数函数里cos(x)的值域是[-1,1]
到了复数里
cos(z)=(e^iz+e^-iz)/2
(e^iz+e^-iz)恒大于零啊,cos(z)的值域多少?
实数函数里cos(x)的值域是[-1,1]
到了复数里
cos(z)=(e^iz+e^-iz)/2
(e^iz+e^-iz)恒大于零啊,cos(z)的值域多少?
你好,在这里面有两个问题你要弄明白.
一.复数是无法比较大小的.所以根本不存在大于0这一说!对于这一点你可以这样理解,以前实数里面存在所谓的“大小”,是因为数轴只有两个方向,规定“右为大,左为小”.而复数域是一个复平面,有无数个方向,那你说哪个方向大,哪个方向小呢?
因此,复数里面只有模能比较大小（复数的模是实数).
二.复变函数里的三角函数是怎么来的.
复变函数里,是先定义指数函数e^z,然后如你所说,用cos(z)=(e^iz+e^-iz)/2,即用指数函数来定义三角函数.但是注意了,这里的e^z由于指数z是复数,因此指数函数的值域已和实函数不同了,数学上是这样处理的.对于复数z,令z=x+iy(x,y为实数),从而e^z=e^x*e^iy.e^x即实数里面的指数函数,对于e^iy,由复数的指数可知,e^iy=cosy+isiny,从而e^z=e^x(cosy+isiny),可见e^z中包含了虚部,值域为复数域除0外的所有部分
再问： 谢谢~
也就是说1/cos(z)在复平面解析？
1/[cos(z)+cosh(z)]呢？解析吗？
再答：
根据这个定理判断就行了，1/cosz的解析域要除去cosz=0的部分，下面那个含有双曲余弦，我忘了。。。不好意思哈，你自己查一下定义，很容易判断的，原理就是发给你的这个定理
一.复数是无法比较大小的.所以根本不存在大于0这一说!对于这一点你可以这样理解,以前实数里面存在所谓的“大小”,是因为数轴只有两个方向,规定“右为大,左为小”.而复数域是一个复平面,有无数个方向,那你说哪个方向大,哪个方向小呢?
因此,复数里面只有模能比较大小（复数的模是实数).
二.复变函数里的三角函数是怎么来的.
复变函数里,是先定义指数函数e^z,然后如你所说,用cos(z)=(e^iz+e^-iz)/2,即用指数函数来定义三角函数.但是注意了,这里的e^z由于指数z是复数,因此指数函数的值域已和实函数不同了,数学上是这样处理的.对于复数z,令z=x+iy(x,y为实数),从而e^z=e^x*e^iy.e^x即实数里面的指数函数,对于e^iy,由复数的指数可知,e^iy=cosy+isiny,从而e^z=e^x(cosy+isiny),可见e^z中包含了虚部,值域为复数域除0外的所有部分
再问： 谢谢~
也就是说1/cos(z)在复平面解析？
1/[cos(z)+cosh(z)]呢？解析吗？
再答：
根据这个定理判断就行了，1/cosz的解析域要除去cosz=0的部分，下面那个含有双曲余弦，我忘了。。。不好意思哈，你自己查一下定义，很容易判断的，原理就是发给你的这个定理