数学竞赛题2道有3个质数（1不是质数）.现在选一个2的指数（1,2,4,8之类的）假定这个数为x 在第1个数上加上x,第

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/25 06:24:23

数学竞赛题2道
有3个质数（1不是质数）.
现在选一个2的指数（1,2,4,8之类的）假定这个数为x 在第1个数上加上x,第2个数上加上x^2,第3个数上加上x^3.然后再选一个数y（同样是2的指数.）同样的在加完第1轮以后的数上分别加上,y,y^2,y^3.有一个规则是每次加完剩下的3个数必须还是质数.现在就这样一直进行N轮直到找不到一个2的指数能在运算完毕后3个数还是质数.求n的最大值.（假设原来的3个质数通过筛选是可以让这种运算次数达到最大值N).
另一道,一个9*9的方块,有81个均匀小方块,假设把其中的46块涂上颜色,证明一定有一个2*2的方块带有至少3个有颜色的小方块.

1.设原来的3个质数分别为a、b、c
由于x^2、y^2模3均同余1,故b,b+x^2,b+x^2+y^2模3余数各不相同
若b≥4,由于b是质数,所以b模3同余1或者2,则b+x^2、b+x^2+y^2中必有一个为3的倍数且大于3,即此数为合数,所以此时N＜2,即最多加1轮
若b=3,则b+x^2+y^2+z^2为3的倍数且大于3,为合数,所以此时N＜3,即最多加2轮
若b=2,则b+x^2+y^2+z^2+w^2为3的倍数且大于3,为合数,所以此时N＜4,即最多加3轮
N=3是可行的,取a=b=c=2,x=1,y=z=2,可检验每一轮加后3个数仍为质数
故N的最大值为3
2.用数学归纳法证明下列与原结论等价的命题,在(2n-1)*(2n-1)的方块中,如果任意一个2*2的方块至多带有2个有颜色的小方块,则至多只能有n*(2n-1)块小方块涂上颜色.
当n=1时,由于只有一个方块,故最多只能有1个小方块涂上颜色,即n=1时成立.
假设n=k时结论成立,考虑n=k＋1的情况.在(2k＋1)*(2k＋1)的方块左上角划一个(2k－1)*(2k－1)的方块,由归纳假设此(2k－1)*(2k－1)的方块中最多有k*(2k-1)块小方块涂上颜色.
在剩余的方块中,将最后两行从左至右依次划出k个2*2的方块,这些2*2的方块互无重合(最后还剩一个2*1的方块)；将最后两列从上到下依次划出k个2*2的方块,这些2*2的方块互无重合（最后还剩一个1*2的方块）.
于是剩余的方块可以被这2k个2*2的方块和右下角的1个小方块所覆盖,每个2*2的方块至多有2个涂有颜色的小方块,于是剩余的方块中最多有4k＋1个块小方块涂上颜色.
所以(2k＋1)*(2k＋1)的方块中至多有k*(2k-1)＋4k＋1=(k＋1)*(2k＋1)块小方块涂上颜色,而有(k＋1)*(2k＋1)块小方块涂上颜色是可以保证的,将(2k＋1)*(2k＋1)的方块中的奇数行的方块全部涂上颜色,则正好有(k＋1)*(2k＋1)块小方块涂上颜色.
故n=k＋1时结论成立.即题目结论成立.

4道数学的判断题（1）两个质数的积一定是合数（）（2）除2以外的质数都是奇数（）（3）一个数的倍数一定比这个数大（）（4 有3个质数（1不是质数）. 判断.1、在非0自然数中,除了1,所有的数不是质数就是合数.（）2、有两个因数的数一定是质数.（）有一个质数,它加上10的质数,加上14也是质数,这个数可能是多少? 有这样一个质数,它分别加上2、8、14、26后,得到的任为质数,这个质数最小是多少有个质数由2个质数组成,2数之和为8,2数只差为2,这个质数是? 在20以内的质数中,有一些质数加上2,结果还是质数,这些质数是（）有没有质数乘质数等于质数的数 ( )x( )=( ) 质数质数质数有一个质数,它加上12,18,2,36还是质数,这个数是( ) 有两个质数,第一个质数加上2,和含有质因数3；第二个质数加上3,和含有质因数2.这两个质数是（）和（）第1个三角形三角形个数为一个,第2个三角形三角形的个数就为5个,第N个图形中有多少个三角形? 小学六年级培优题1、求具有下列特征的质数：这个质数加上16或38后,其和仍是质数.2、有些数既能表示成3个连续自然数的和