急急急急（应该可以利用平移、旋转那里的知识解决,我看好像是闯关100分里的题吧）

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 17:49:37

急急急急（应该可以利用平移、旋转那里的知识解决,我看好像是闯关100分里的题吧）
设正方形ABCD的边长为1,PQ分别是AB、AD上的点,且△APQ周长为2,求∠PCQ的度数

方法一：
延长QD到M,使得DM=PB,连接MC
则：RT三角形MDC全等于RT三角形PBC
所以：MC=PC,∠MCD=∠PCB
而：PQ=2-AQ-AP=(1-AQ)+(1-AP)=DQ+PB=DQ+DM=QM
再有：QC是公共边
所以：三角形MCQ全等于三角形PCQ
所以：∠QCP=∠QCM=∠MCD+∠DCQ=∠PCB+∠DCQ
而：∠DCB=∠QCP+∠PCB+∠DCQ=2∠QCP=90度
所以：∠QCP=45度
方法二：
设DQ=m,PB=n
则：AQ=1-m,AP=1-n,PQ=2-AQ-AP=m+n
AQ^2+AP^2=PQ^2
(1-m)^2+(1-n)^2=(m+n)^2
1-2m+m^2+1-2n+n^2=m^2+2mn+n^2
m+n=1-mn
tan∠DCQ=m,tan∠BCP=n
tan(∠DCQ+∠BCP)=(m+n)/(1-mn)=1
所以：∠DCQ+∠BCP=45度
∠PCQ=∠BCD-(∠DCQ+∠BCP)=90度-45度=45度