用拉格朗日乘数法,求平面上点（2,1）到直线x+y＝1的距离.求详解,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 10:56:26

设点(2,1)到直线x+y=1最近的点为（x,y),则两点的距离为((x-2)^2+(y-1)^2)^0.5；
构造拉格朗日函数：
L=((x-2)^2+(y-1)^2)^0.5+λ(x+y-1);
求L对X的偏导数,并令其为0,有：
L‘(x)=(x-2)/(((x-2)^2+(y-1)^2)^0.5)+λ=0; (1)
求L对Y的偏导数,并令其为0,有：
L’(y)=(y-1)/(((x-2)^2+(y-1)^2)^0.5)+λ=0; (2)
又有：x+y-1=0; (3)
解(1), (2), (3) 方程组,得：x=1, y=0, λ=(2^0.5)/2;
所以原题要求的距离为：((x-2)^2+(y-1)^2)^0.5=2^0.5, 约等于1.414；
验证：
x+y=1, 即y=-x+1; 则其垂线方程可写为：y=x+b；又因为通过点(2,1); 得y=x-1；
解两直线方程组,得x=1, y=0；正确.

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