作业帮斯坦纳—雷米欧斯定理的三角函数证明方法
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 16:14:43
斯坦纳—雷米欧斯定理的三角函数证明方法
如图,则在△EBC与△DBC中：sin(2β+γ)/ sin2β= BC/CE = BC/BD = sin(β+2γ)/ sin2γ,
∴2sinβcosβsin(β+2γ) - 2sinγcosγsin(2β+γ) =0
→sinβ sin2(β+γ)+sin 2γ】- sinγ【 sin2（β+γ）+ sin2β】=0（积化和差）
→sin2(β+γ)【sinβ-sinγ】+2 sinβsinγ【cosγ- cosβ】=0（重新分组并提取公因式）
→sin [(β-γ)/2]【sin2(β+γ) cos[(β+γ)/2] + 2 sinβsinγsin [(β+γ)/2]=0（和差化积）
又显然上式的后一个因式的值大于零,∴sin[(β-γ)/2]=0,∴β=γ,∴AB=AC.证毕!
网上只有这些,没图,而且β和γ在哪里都没讲,
如图,则在△EBC与△DBC中：sin(2β+γ)/ sin2β= BC/CE = BC/BD = sin(β+2γ)/ sin2γ,
∴2sinβcosβsin(β+2γ) - 2sinγcosγsin(2β+γ) =0
→sinβ sin2(β+γ)+sin 2γ】- sinγ【 sin2（β+γ）+ sin2β】=0（积化和差）
→sin2(β+γ)【sinβ-sinγ】+2 sinβsinγ【cosγ- cosβ】=0（重新分组并提取公因式）
→sin [(β-γ)/2]【sin2(β+γ) cos[(β+γ)/2] + 2 sinβsinγsin [(β+γ)/2]=0（和差化积）
又显然上式的后一个因式的值大于零,∴sin[(β-γ)/2]=0,∴β=γ,∴AB=AC.证毕!
网上只有这些,没图,而且β和γ在哪里都没讲,
已知△ABC中, BD, CE分别是∠B, ∠C的内角平分线, BD = CE, 求证AB = AC.
设∠B = 2β, ∠C = 2γ, 在△EBC中由正弦定理得:
BC/CE = sin∠CEB/sin∠B = sin(180°-2β-γ)/sin2β = sin(2β+γ)/sin2β.
同理在△DBC得:BC/BD = sin(β+2γ)/sin2γ.
又BD = CE, 故sin(2β+γ)/sin2β = sin(β+2γ)/sin2γ.
后面就没问题了吧.
再问： 额...能不能把它全部讲一遍,我才初中,三角函数的公式都还没学,谢谢了.
再答： 如果正弦和角公式都没学, 其实不太适合看这个证明. 这里仅介绍一下用到的公式, 证明就不说了. 二倍角公式: sin2A = 2sinAcosA. 积化和差公式(之一): 2sinAcosB = sin(A+B)+sin(A-B). 差化积公式: sinA-sinB = 2sin((A-B)/2)cos((A+B)/2), cosA-cosB = 2sin((B-A)/2)sin((A+B)/2). 接前文, 去分母得sin2βsin(β+2γ)-sin2γsin(2β+γ) = 0. 用二倍角公式展开sin2β与sin2γ即得: 2sinβcosβsin(β+2γ)-2sinγcosγsin(2β+γ) = 0. 对cosβsin(β+2γ)积化和差得: 2sin(β+2γ)cosβ = sin(2(β+γ))+sin2γ. 同理2sin(2β+γ)cosγ = sin(2(β+γ))+sin2β. 代回得sinβ(sin(2(β+γ))+sin2γ)-sinγ(sin(2(β+γ))+sin2β) = 0. 即sin(2(β+γ))(sinβ-sinγ)+sinβsin2γ-sinγsin2β = 0. 再用二倍角: sinβsin2γ-sinγsin2β = 2sinβsinγ(cosγ-cosβ). 于是有sin(2(β+γ))(sinβ-sinγ)+2sinβsinγ(cosγ-cosβ) = 0. 由差化积, sinβ-sinγ = 2sin((β-γ)/2)cos((β+γ)/2). 而cosγ-cosβ = 2sin((β-γ)/2)sin((γ+β)/2). 代回得2sin((β-γ)/2)·(sin(2(β+γ))cos((β+γ)/2)+2sinβsinγsin((γ+β)/2)) = 0. 由0 < 2(β+γ) < 180°, 0 < β, γ < 90°, 0 < (β+γ)/2 < 90°, 可知sin(2(β+γ))cos((β+γ)/2)+2sinβsinγsin((γ+β)/2) > 0. 于是sin((β-γ)/2) = 0, 又-90° < (β-γ)/2 < 90°, 只有(β-γ)/2 = 0, 即β = γ. 因此∠B = 2β = 2γ = ∠C, 即有AB = AC.
设∠B = 2β, ∠C = 2γ, 在△EBC中由正弦定理得:
BC/CE = sin∠CEB/sin∠B = sin(180°-2β-γ)/sin2β = sin(2β+γ)/sin2β.
同理在△DBC得:BC/BD = sin(β+2γ)/sin2γ.
又BD = CE, 故sin(2β+γ)/sin2β = sin(β+2γ)/sin2γ.
后面就没问题了吧.
再问： 额...能不能把它全部讲一遍,我才初中,三角函数的公式都还没学,谢谢了.
再答： 如果正弦和角公式都没学, 其实不太适合看这个证明. 这里仅介绍一下用到的公式, 证明就不说了. 二倍角公式: sin2A = 2sinAcosA. 积化和差公式(之一): 2sinAcosB = sin(A+B)+sin(A-B). 差化积公式: sinA-sinB = 2sin((A-B)/2)cos((A+B)/2), cosA-cosB = 2sin((B-A)/2)sin((A+B)/2). 接前文, 去分母得sin2βsin(β+2γ)-sin2γsin(2β+γ) = 0. 用二倍角公式展开sin2β与sin2γ即得: 2sinβcosβsin(β+2γ)-2sinγcosγsin(2β+γ) = 0. 对cosβsin(β+2γ)积化和差得: 2sin(β+2γ)cosβ = sin(2(β+γ))+sin2γ. 同理2sin(2β+γ)cosγ = sin(2(β+γ))+sin2β. 代回得sinβ(sin(2(β+γ))+sin2γ)-sinγ(sin(2(β+γ))+sin2β) = 0. 即sin(2(β+γ))(sinβ-sinγ)+sinβsin2γ-sinγsin2β = 0. 再用二倍角: sinβsin2γ-sinγsin2β = 2sinβsinγ(cosγ-cosβ). 于是有sin(2(β+γ))(sinβ-sinγ)+2sinβsinγ(cosγ-cosβ) = 0. 由差化积, sinβ-sinγ = 2sin((β-γ)/2)cos((β+γ)/2). 而cosγ-cosβ = 2sin((β-γ)/2)sin((γ+β)/2). 代回得2sin((β-γ)/2)·(sin(2(β+γ))cos((β+γ)/2)+2sinβsinγsin((γ+β)/2)) = 0. 由0 < 2(β+γ) < 180°, 0 < β, γ < 90°, 0 < (β+γ)/2 < 90°, 可知sin(2(β+γ))cos((β+γ)/2)+2sinβsinγsin((γ+β)/2) > 0. 于是sin((β-γ)/2) = 0, 又-90° < (β-γ)/2 < 90°, 只有(β-γ)/2 = 0, 即β = γ. 因此∠B = 2β = 2γ = ∠C, 即有AB = AC.