已Rt△ABO的直角顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OB所在的直线为y轴

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 17:45:23

已Rt△ABO的直角顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OB所在的直线为y轴
如图,以Rt△ABO的直角顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OB所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系．已知OA=4,OB=3,一动点P从O出发沿OA方向,以每秒1个单位长度的速度向A点匀速运动,到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q从A点出发沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．当Q到达B时,P、Q两点同时停止运动,设P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．
（1）试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；
（2）在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折,使得点A恰好落在AB边的点D处,如图①．求出此时△APQ的面积．
（3）在点P从O向A运动的过程中,在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯形?若存在,求出点E的坐标；若不存在,请说明理由．
（4）伴随着P、Q两点的运动,线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D,交折线QB-BO-OP于点F．当DF经过原点O时,请直接写出t的值．
.

（1）在Rt△AOB中,OA=4,OB=3
∴AB=√(4^2+3^2)=5
①P由O向A运动时,OP=AQ=t,AP=4-t
过Q作QH⊥AP于H点．
由QH∥BO,得
QH/AQ=OB/AB,得QH=3/5t
∴S△APQ=1/2AP•QH=(1/2)*(4-t)*[(3/5)t]
即S△APQ=(-3/10)t^2+(6/5)t（0＜t≤4）
②当4＜t≤5时,即P由A向O运动时,AP=t-4AQ=t
sin∠BAO=QH/t=3/5
QH=(3/5)t,
∴S△APQ=(1/2)*(t-4)•[(3/5)t]
=(3/10)t^2-(6/5)t；
（2）由题意知,此时△APQ≌△DPQ,∠AQP=90°,
∴cosA=AQ/AP=OA/AB=4/5,
当0＜t≤4∴t/(4-t)=4/5即t=16/9
当4＜t≤5时,t/(4-t)=(4/5)t=-16（舍去）
∴S△APQ=-(3/10)t^2+(6/5)t=32/27；
（3）存在,有以下两种情况
①若PE∥BQ,则等腰梯形PQBE中PQ=BE
过E、P分分别作EM⊥AB于M,PN⊥AB于N．
则有BM=QN,由PE∥BQ,
得OE/OB=OP/OA,
∴BM=(3/5)[3-(3/4)t]；
又∵AP=4-t,
∴AN=(4/5)(4-t),
∴QN=4/5(4-t)-t,
由BM=QN,得3/5（3-3/4t）=4/5（4-t）-t
∴t=28/27,
∴E（0,7/9）；
②若PQ∥BE,则等腰梯形PQBE中
BQ=EP且PQ⊥OA于P点
由题意知AP=4/5AQ=4/5t
∵OP+AP=OA∴t+4/5t=4
∴t=20/9∴E（0,-15/3）
由①②得E点坐标为（0,7/9）或（0,-15/3）；
（4）①当P由O向A运动时,OQ=OP=AQ=t．
可得∠QOA=∠QAO∴∠QOB=∠QBO
∴OQ=BQ=t∴BQ=AQ=1/2AE
∴t=5/2；
②当P由A向O运动时,OQ=OP=8-t
BQ=5-t,QG=4/5（5-t）,OG=3-3/5（5-t）
在Rt△OGQ中,OQ2=RG2+OG2
即(8-t)^2=[4/5（5-t）]^2+[3-3/5（5-t）]^2
∴t=5