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一个球半径r,一个圆锥所有母线和底面与球相切,求圆锥全面积的最小值

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 16:04:57
一个球半径r,一个圆锥所有母线和底面与球相切,求圆锥全面积的最小值
如图所示,圆锥轴截面图,△ABC,圆O是球截面的大圆,D、E、F是切点,AD是△ABC的高,OD=OE=OF=r,
设AD=x,
AO=x-r,
AF=√(AO^2-OF^2)=√[(x-r)^2-r^2]=√(x^2-2rx),
∵〈AFO=〈ADB=90°,〈FAO=〈DAB(公用角),
∴△AOF∽ABD,
∴OF/BD=AF/AD,
r/BD=√(x^2-2rx)/x,
BD=rx/√(x^2-2rx),
∵BF=BD,
∴AB=AF+BD
=√(x^2-2rx)+ rx/√(x^2-2rx)
=(x^2-rx)/√(x^2-2rx),
全面积S=S侧+S底=2π*BD*AB/2+πBD^2
=2πr[x/√(x^2-2rx)* ][(x^2-rx)/√(x^2-2rx)]/2+π[rx/√(x^2-2rx)]^2
=πrx^3/(x^2-2rx),
dS/dx=[3πrx^2(x^2-2rx)-(2x-2r)* πrx^3]/(x^2-2rx)^2
=πrx^3(x-4r)/(x^2-2rx)^2.
令dS/dx=0,
则x=4r,当0〈x<4r时,s’<0,函数单调递减,当x>4r时s’>0, 函数单调递增,所以x=4r是极小值点,
S(min)=π*r*(4r)^3/[(4r)^2-2r*4r]
=8πr^2,
∴圆锥全面积的最小值为8πr^2.

再问: 谢谢~那么能不求导做出来吗?老师给我们的提示是设底角为α做
再答: 设
已知母线长是10,底面半径是5的圆锥内有一球,球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切,求球的体积. 在轴截面为等边三角形的圆锥里刚好放入一个小球(球面与圆锥底面相切)求这个球的体积(底面圆锥半径为r) 已知一圆锥的母线长为10CM,底面半径为5CM (1)求他的高(2)若该圆锥内有一球,球与圆锥的底面及所有母线都相切,求 圆锥侧面积和全面积一个圆锥的高为3根号3厘米,侧面展开图是半圆.求:(1)圆锥的母线长与底面半径之比;(2)∠BAC=的 已知一个圆锥的底面半径为3cm,母线长为7cm.求这个圆锥的侧面积和全面积 已知一个圆锥的底面半径为10厘米,母线长为15厘米.求这个圆锥的侧面积和全面积 如图,一个圆锥的底面半径r为10cm,母线L长为40cm,求圆锥的侧面展开图的圆心角和面积 圆锥底面半径为10,母线为26,内放一球,球面与底面相切,求球的体积 一个圆锥的高为3分之根号3厘米,侧面展开图是半圆,求圆锥的母线与底面半径之比,2、求圆锥的全面积 已知母线长是10底面半径是5的圆锥内有一球,球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切则球的体积是多少 已知母线长为10CM 底面半径为5CM的圆锥内有一球,球与圆锥的底面积圆锥的所有母线都相切,则球的体积? 圆锥的全面积为27π立方厘米,侧面展开图是一个半圆,求圆锥母线和底面所成的角和圆锥的体积