作业帮200分求一道初三抛物线题,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 18:48:26
200分求一道初三抛物线题,
如图抛物线 y=ax^2+3ax+c（a>0）与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在B点左侧,点B的坐标为（1,0）,OC=3OB.
（1）求抛物线的解析式.
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值.
（3）若点E在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在,求出P点坐标.
图：
辅助线麻烦自己画下,尽量要让人看得懂,
如图抛物线 y=ax^2+3ax+c（a>0）与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在B点左侧,点B的坐标为（1,0）,OC=3OB.
（1）求抛物线的解析式.
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值.
（3）若点E在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在,求出P点坐标.
图：
辅助线麻烦自己画下,尽量要让人看得懂,
OC=3OB,
点B的坐标为（1,0）.则OC=3
所以C点坐标为（0,-3）
将B,C两点带进抛物线可得：
a+3a+c=0
c=-3
解得a=3/4
解析式为y=3/4x^2+9/4x-3
（2）因为抛物线的解析式为y=3/4•x²+9/4•x-3,故：A（－4,0）
设D的横坐标为z,因为D在抛物线上,故：D的纵坐标为3/4•z²+9/4•z-3
因为点D是线段AC下方,故：－4＜z＜0
连接OD
故：S△AOD=1/2×OA×[-(3/4•z²+9/4•z-3)]=-3/2•z²-9/2•z+6
S△ODC＝1/2×OC×(-z)=-3/2•z
S△OBC=1/2×1×3＝3/2
故：四边形ABCD面积S＝S△AOD＋S△ODC＋S△OBC
=-3/2•z²-6z+15/2
=-3/2(z+2) ²+27/2
故：z=-2,即P(-2,-9/2)时,四边形ABCD面积有最大值,最大值为27/2
(3) AEPC是平行四边形
AE‖CP
过C作直线y=-3,交抛物线于点P(-3,-3)
此时AEPC是平行四边形,P点坐标是(-3,-3),E(-7,0)
点B的坐标为（1,0）.则OC=3
所以C点坐标为（0,-3）
将B,C两点带进抛物线可得：
a+3a+c=0
c=-3
解得a=3/4
解析式为y=3/4x^2+9/4x-3
（2）因为抛物线的解析式为y=3/4•x²+9/4•x-3,故：A（－4,0）
设D的横坐标为z,因为D在抛物线上,故：D的纵坐标为3/4•z²+9/4•z-3
因为点D是线段AC下方,故：－4＜z＜0
连接OD
故：S△AOD=1/2×OA×[-(3/4•z²+9/4•z-3)]=-3/2•z²-9/2•z+6
S△ODC＝1/2×OC×(-z)=-3/2•z
S△OBC=1/2×1×3＝3/2
故：四边形ABCD面积S＝S△AOD＋S△ODC＋S△OBC
=-3/2•z²-6z+15/2
=-3/2(z+2) ²+27/2
故：z=-2,即P(-2,-9/2)时,四边形ABCD面积有最大值,最大值为27/2
(3) AEPC是平行四边形
AE‖CP
过C作直线y=-3,交抛物线于点P(-3,-3)
此时AEPC是平行四边形,P点坐标是(-3,-3),E(-7,0)