初中竞赛题一道..估计是抽屉原理..

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 15:05:06

初中竞赛题一道..估计是抽屉原理..
一个圆盘分内、外两个圈,均等分10个格子,且分别把1、2、3……10这10个数字任意地填入内、外圈的10个格子中（每格填一个数）,若圆内圈可以绕圆心转动,求证：在转动中一定有某一时刻内圈的10个数字与外圈的10个数字每对乘积之和大于302

设内圈,外圈分别排成a1,a2,...,a10和b1,b2,...,b10.
a1,a2,...,a10和b1,b2,...,b10都是1,2,...,10的某个排列,所以a1+...+a10=b1+...+b10=1+2+...+10=55.
乘积之和s1=a1*b1+a2*b2+...+a10*b10.(1)
外圈转一格后,乘积之和s2=a1*b2+a2*b3+...+a10*b1.(2)
.
外圈转过9格后,乘积之和s10=a1*b10+a2*b1+...+a10*b9.(10)
把这10个等式相加,得
s1+s2+...+s10=a1*(b1+...+b10)+a2*(b1+...+b10)+...+a10*(b1+...+b10)=a1*55+a2*55+...+a10*55=
=(a1+a2+...+a10)*55=55*55=3025.
s1,s2,...,s10的平均数等于302.5,所以至少有一个乘积之和大于302.

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