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函数f(x)=x2-2ax+1在闭区间[-1,1]上的最小值记为g(a).

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 14:27:42
函数f(x)=x2-2ax+1在闭区间[-1,1]上的最小值记为g(a).
(1)求g(a)的解析式;
(2)求g(a)的最大值.
(1)函数f(x)可化为f(x)=(x-a)2+1-a2,其图象的对称轴x=a与所给区间[-1,1]呈现出如下图所示的三种位置关系.

①当a>1时,如图所示,g(a)=f(1)=2-2a;当-1≤a≤1时,g(a)=f(a)=1-a2,当a<-1时,g(a)=f(-1)=2+2a,
综上可得g(a)=

2−2a,a>1
1−a2,−1≤a≤1
2+2a,a<−1.
(2)根据g(a)=

2−2a,a>1
1−a2,−1≤a≤1
2+2a,a<−1,画出函数g(a)的图象,如图所示,故当a=0时,函数g(a)取得最大值为1.
(1)根据函数f(x)的图象的对称轴x=a在所给区间[-1,1]的左侧、中间、右侧三种情况,分别求得f(a),综合可得结论.
(2)根据函数g(a)的解析式,画出函数g(a)的图象,数形结合求得函数g(a)取得最大值.