作业帮当x→0时,问β(x)=ln(1+x^2)-x^2是x的几阶无穷小?过程 谢谢
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 20:03:00
当x→0时,问β(x)=ln(1+x^2)-x^2是x的几阶无穷小?过程 谢谢
4阶无穷小
可以考虑用罗必塔法则,也可以用级数
这里用lim(ln(1+x^2)-x^2)/x^4=lim(2x/(1+x^2)-2x)/(4x^3)
=lim(1/(1+x^2)-1)/(2x^2)
=lim(-x^2/(1+x^2))/(2x^2)=-1/2
再问： 你是先知道是4阶然后在带进去算的吗 这道题提前不知道几阶怎么算
再答： 这种做法是先猜测是4阶,然后验证一下,如果验证的极限不为非0常数,说明猜错了
实在猜不出来可以用泰勒展开式了
ln(1+x^2)-x^2=x^2-x^4/2+o(x^4)-x^2=-x^4/2+o(x^4)
所以为四阶无穷小
如果忘了泰勒展开式了,那只能用笨方法
β(0)=0
β'(0)=0
β''(0)=0
β'''(0)=0
β''''(0)=-12
所以为四阶无穷小
可以考虑用罗必塔法则,也可以用级数
这里用lim(ln(1+x^2)-x^2)/x^4=lim(2x/(1+x^2)-2x)/(4x^3)
=lim(1/(1+x^2)-1)/(2x^2)
=lim(-x^2/(1+x^2))/(2x^2)=-1/2
再问： 你是先知道是4阶然后在带进去算的吗 这道题提前不知道几阶怎么算
再答： 这种做法是先猜测是4阶,然后验证一下,如果验证的极限不为非0常数,说明猜错了
实在猜不出来可以用泰勒展开式了
ln(1+x^2)-x^2=x^2-x^4/2+o(x^4)-x^2=-x^4/2+o(x^4)
所以为四阶无穷小
如果忘了泰勒展开式了,那只能用笨方法
β(0)=0
β'(0)=0
β''(0)=0
β'''(0)=0
β''''(0)=-12
所以为四阶无穷小
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