（2011•顺城区二模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/06 10:33:07

（2011•顺城区二模）如图，已知抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点P使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个符合条件的点P（简要说明理由）并写出其中一个点的坐标；若不存在这样的点P，请简要说明理由．

（1）将点A与B的坐标代入抛物线的解析式得：

a+b+3＝0
9a−3b+3＝0，
解得：

a＝−1
b＝−2，
∴抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3；

（2）∵抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3，
∴点C的坐标为（0，3），
设点E的坐标为（x，y），过点E作EF∥AB交y轴于F，
∴EF=-x，OB=3，OC=3，OF=-x²-2x+3，CF=3-（-x²-2x+3）=x²+2x，∴S_△BEC=S_梯形OBEF+S_△EFC-S_△BOC
=
1
2（EF+OB）•OF+
1
2EF•CF-
1
2OB•OC
=
1
2×（-x+3）×（-x²-2x+3）+
1
2×（-x）×（x²+2x）-
1
2×3×3
=-
3
2（x+
3
2）²+
27
8，
∴当x=-
3
2时，△BCE的面积最大，最大面积为
27
8；
∴y=-x²-2x+3=
15
4，
∴点E的坐标为（-
3
2，
15
4）；

（3）存在．

如果AP=BP，则点P在AB的垂直平分线上，即是抛物线的顶点，
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴此时P点的坐标为（-1，4）；
如果AB=BP，则如图①：
如果AB=AP，则如图②：
∴存在使得△ABP为等腰三角形的P点3个；
有一点的坐标为（-1，4）．