关于三角形内心.我已经想了三天,没有办法了.请给得详细些. 这好像是一道初中竞赛题。

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/25 17:30:27

关于三角形内心.

我已经想了三天,没有办法了.请给得详细些.

这好像是一道初中竞赛题。

下面是正题的证明,主要方法是相似和四点共圆：

证明：
若△ABC为正三角形,命题显然成立；
否则不妨设∠ABC<60°.
设射线BI、CI与直线DE分别交于P、Q,
∵∠BAC=60°,∴∠ABC+ACB=120°.
∵I为△ABC的内心,
　∠PIQ=∠BIC=180°-(∠ABC+ACB)/2=120°,
∴∠IAB=∠IAC=∠BAC/2=30°,
∵DE垂直平分AI,
∴DA=DI,EA=EI,∠ADE=∠AED=60°,
∴AD=DI=IE=EA,四边形ADIE为菱形,
∴ID//AC,IE//AB,△IDE、△ADE为正三角形.
∴∠BIQ=∠BDQ=60°,∠CIP=∠CEP=60°,
∴B、I、D、Q四点共圆,B、I、D、Q四点共圆,
∴∠IQD=∠IBD=∠ABC/2<30°,
　∠IPE=∠ICE=∠ACB/2>30°,
　∠BQI=∠BDI=60°,∠CPI=∠CEI=60°,
∴△IBQ、△ICP为正三角形.
∴∠BQP+∠CPQ=(60°+∠ABC/2)+(60°+∠ACB/2)=180°
∴BQ//CP,∠BQP<90°,∠CPQ>90°,
分别以B、C为圆心,以BQ、CP为半径作弧
交直线DE于N、M,显然M在EP的延长线上
则∠BQN=∠BNQ=∠CPM=∠CMP
∴△BQN∽△CPM,△BQD∽△CPE,
设BQ=BI=IQ=b,CP=CI=IP=c,PM=x,EP=y,
则QN：x=b：c,QD：(bx/c+by/c)=b：c,
QN=bx/c,ND=QD=QN=b(x+y)/c-bx/c=by/c,
∵DI//EC,∴DE：(QN+ND)=IC：QI
∴DE=(bx/c+by/c)*c/b=x+y=EM
∵EI//DB,∴DE：EP=IB：PI
∴DE=y*b/c=DN
∴ND：DE：EP=BF：FG：GC
又∠BNQ=∠CMQ,∴BN//CM
根据引理BN//FD//GE//CM 题目太难,最主要的难点是：如何将三等分点用到证明中去.

一道数学竞赛题,求解详细过程. 我拿去问老师,没告诉他这是一道竞赛题.老师想了一会儿说此题难度六根长度一样的小棒最多拼几个三角形?请详细说明.有人已经说了是8个,但不甚明白.我看摆羞立体的好像就四个,想不出其它的四英语翻译：（初一的）关于你的作业我已经想了三天了一道高中化学竞赛题,难死我了 %%%%*****一道初中物理竞赛题~·关于摩擦力一道关于摩擦力的初中物理竞赛题英语翻译我房间的电源插头坏了,没用办法使用,也没有办法给笔记本电脑充电.请尽快帮我修理.这句话英语怎样说呢初中一道科学竞赛题 ,大家帮忙做做我不会要答案及详细的解释关于代词请详细的介绍一下英语中的代词,要说得通俗易懂一些,好让我能明白,人称、物主、反身代词已经不用了,这些我都会,着重第一道题已经求出来了,X等于270.请给我一个第二题的思路. 一道初中数学竞赛题,求详细解答过程一道初二竞赛题如图,据说B和D的位置反了……我已经加到50分了，百度难道就没有一个奥数天才麽。（最好是用初二的知识解决~