已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为根号六/3,且过点(根号2,1),过点C(-1,0)且斜率为k的直线

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/27 14:30:44

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的离心率为根号六/3,且过点(根号2,1),过点C(-1,0)且斜率为k的直线l与椭圆相交
于不同的两点A,B.
1.求椭圆的方程
2.若线段AB的重点的横坐标为-1/2,求斜率k
3.在x轴上是否存在点M,使向量MA*向量MB+5/(3k^2+1)是与k无关的常数?若存在,求出点M的坐标：若不存在,请说明理由.

（Ⅰ）由 e2=
a2-b2a2=1-
b2a2=
23,
得 ba=
13． ①…（2分）
由椭圆C经过点(
32,
12),得94a2+
14b2=1． ②…（3分）
联立①②,解得 b=1,a=
3． …（4分）
所以椭圆C的方程是 x23+y2=1． …（5分）
（Ⅱ）易知直线AB的斜率存在,设其方程为y=kx+2．
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立,
消去y得（1+3k2）x2+12kx+9=0．…（7分）
令△=144k2-36（1+3k2）＞0,得k2＞1．
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则x1+x2=-
12k1+3k2,x1x2=
91+3k2． …（9分）
所以 S△AOB=|S△POB-S△POA|=
12×2×|x1-x2|=|x1-x2|． …（10分）
因为 (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(-
12k1+3k2)2-
361+3k2=
36(k2-1)(1+3k2)2,
设 k2-1=t（t＞0）,
则 (x1-x2)2=
36t(3t+4)2=
369t+
16t+24≤
362
9t×
16t+24=
34． …（13分）
当且仅当9t=
16t,即t=
43时等号成立,
此时△AOB面积取得最大值32．…（14分）

已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为二分之根号三,过右焦点F且斜率为K(k>0)的直线已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>0,b>0)的离心率为根号3/2,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直已知椭圆C：（x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的离心率为二分之根号3,过右焦点F且斜率为k（k>0 已知椭圆C:x^2+y^2/m=1的焦点在y轴上,且离心率为根号3/2,过点(0,3)的直线l与椭圆C交与两点A,B. 已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/2,过坐标原点O且斜率为1/2的直线L与C 已知椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b> 0)的离心率为根号3/2,过坐标原点O且斜率为1/2的直线L与已知椭圆C:x*2/a*2+y*2/b*2=1(a＞b＞0)的离心率为√3/2,过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线与已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为(√3)/2,过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线椭圆C x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的离心率为√3/2,过右焦点F且斜率为k k>0的直线交椭圆A 已知椭圆c:x2/a2+y2/b2=1的离心率为根号3/2,过右焦点f且斜率为k的直线与c交与A.B两点,若AF=3FB 已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为根号3/2,且过点M（4,1）直线l：y=x+m教育椭圆A,B两不同点已知椭圆C的焦点在y轴上,离心率为3分之2根号2且过点(1,0),求椭圆C的方程