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关于数列极限与度量空间的题目

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2022/07/07 19:38:43
关于数列极限与度量空间的题目
证明下述命题:令 a(n) :N → (X,ϱ) 为一个(X,ρ)度量空间中的数列,定义为a(1) := x0,a(n+1) := T(a(n)) ,x ∈ X 并且函数 T :X → X连续.如果a(n)收敛于极限a∈ X,那么Ta=a
此题为翻译,原题(英文)如下:
Show the following statement:Let a(n) :N → (X,ϱ) be a sequence in a metric space (X,ρ) defined by
a(1) := x0,a(n+1) := T(a(n)) for some x ∈ X and a continuous function T :X → X.If a(n) converges with
limit a ∈ X,then Ta = a.(We say that a is a fixed point of T.)
因为
a(n)->a
T连续
所以T(a(n))->Ta,即:a(n+1)->Ta,即a(n)->Ta
又a(n)->a
由度量空间极限唯一性,知道Ta=a
证毕