作业帮高数 数项级数的和怎么求啊
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 06:09:07
高数 数项级数的和怎么求啊
拆分分子n² = n(n-1)+n.
于是∑{1 ≤ n} n²/n!= ∑{1 ≤ n} n(n-1)/n!+∑{1 ≤ n} n/n!
= ∑{2 ≤ n} n(n-1)/n!+∑{1 ≤ n} 1/(n-1)!
= ∑{2 ≤ n} 1/(n-2)!+∑{1 ≤ n} 1/(n-1)!
= ∑{0 ≤ n} 1/n!+∑{0 ≤ n} 1/n!
= 2·∑{0 ≤ n} 1/n!
= 2e.
再问： ∑{0 ≤ n} 1/n! 等于e? 这个是？
再答： 学到级数了应该知道这个结果的. 证明可以在e^x = ∑{0 ≤ n} x^n/n!中取x = 1. 或者可以用二项式定理展开(1+1/n)^n = 1+C(n,1)/n+C(n,2)/n²+C(n,3)/n³+... = 1+1+(1-1/n)/2!+(1-1/n)·(1-2/n)/3!+... < 1+1+1/2!+1/3!+...+1/n! 取极限可得到e ≤ ∑{0 ≤ n} 1/n!. 反过来(1+1/n)^n展开的前N+1项 1+1+(1-1/n)/2!+(1-1/n)·(1-2/n)/3!+...+(1-1/n)(1-2/n)...(1-(N-1)/n)/N! 收敛到∑{0 ≤ k ≤ N} 1/k!. 有e ≥ ∑{0 ≤ k ≤ N} 1/k!, 对任意N成立. 因此e ≥ ∑{0 ≤ n} 1/n!.
于是∑{1 ≤ n} n²/n!= ∑{1 ≤ n} n(n-1)/n!+∑{1 ≤ n} n/n!
= ∑{2 ≤ n} n(n-1)/n!+∑{1 ≤ n} 1/(n-1)!
= ∑{2 ≤ n} 1/(n-2)!+∑{1 ≤ n} 1/(n-1)!
= ∑{0 ≤ n} 1/n!+∑{0 ≤ n} 1/n!
= 2·∑{0 ≤ n} 1/n!
= 2e.
再问： ∑{0 ≤ n} 1/n! 等于e? 这个是？
再答： 学到级数了应该知道这个结果的. 证明可以在e^x = ∑{0 ≤ n} x^n/n!中取x = 1. 或者可以用二项式定理展开(1+1/n)^n = 1+C(n,1)/n+C(n,2)/n²+C(n,3)/n³+... = 1+1+(1-1/n)/2!+(1-1/n)·(1-2/n)/3!+... < 1+1+1/2!+1/3!+...+1/n! 取极限可得到e ≤ ∑{0 ≤ n} 1/n!. 反过来(1+1/n)^n展开的前N+1项 1+1+(1-1/n)/2!+(1-1/n)·(1-2/n)/3!+...+(1-1/n)(1-2/n)...(1-(N-1)/n)/N! 收敛到∑{0 ≤ k ≤ N} 1/k!. 有e ≥ ∑{0 ≤ k ≤ N} 1/k!, 对任意N成立. 因此e ≥ ∑{0 ≤ n} 1/n!.