三角形ABC 求证 cot(A/n)cot(B/n)cot(C/n)大于等于3倍根号3

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 15:48:22

三角形ABC 求证 cot(A/n)cot(B/n)cot(C/n)大于等于3倍根号3
可以不说过程说个思路也行`
掉了条件 n大于等于2整数
证明 n=2是满足即可

用大学的知识证明,人家也看不懂啊!
看来是要证明一下啦,三角函数有的时候证明起来很让人头痛.
前两天没空,让你久等了!
因为n>2时很容易证明
cot(A/n)cot(B/n)cot(C/n)>cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)
所以,只要证明cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)>3√3就可以了
原式的分子=COSA/2COSB/2COSC/2=0.5COSC/2[COS(A+B)/2+COS(A-B)/2]
=0.5COSC/2[SINC/2+COS(A-B)/2]
=0.5COSC/2SINC/2+0.5SIN(A+B)/2COS(A-B)/2
=0.5COSC/2SINC/2+0.25SINA+0.25SINB
=0.5(SINC/2COSC/2+SINA/2COSA/2+SINB/2COSB/2)
原式=0.5[(cosC/2)/(sinA/2sinB/2)+(cosB/2)/(sinC/2sinA/2)+(cosA/2)/(sinB/2sinC/2)
0.5(cosC/2)/(sinA/2sinB/2)的分子
cosC/2=cos[90°-(A+B)/2]=sin(A+B)/2=sinA/2cosB/2+cosA/2sinB/2
所以0.5(cosC/2)/(sinA/2sinB/2)
=0.5cotB/2+0.5cotA/2
同理可以得到：0.5(cosB/2)/(sinC/2sinA/2)
=0.5cotC/2+0.5cotA/2
0.5(cosB/2)/(sinC/2sinA/2)
=0.5cotC/2+0.5cotA/2
所以cotA/2cotB/2cotC/2=cotA/2+cotB/2+cotC/2
≥3(cotA/2cotB/2cotC/2)^(1/3)
因为,cotA/2>0,cotB/2>0,cotC/2>0
所以,(cotA/2cotB/2cotC/2)^3≥27cotA/2cotB/2cotC/2
即(cotA/2cotB/2cotC/2)^2≥27
所以,cotA/2cotB/2cotC/2≥3√3
得证!

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