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已知A1=B1=1,A(n+1)=bn+n,b(n+1)=an+(-1)^(n+1),n属于正整数 求an的通项公式

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/23 20:02:33
已知A1=B1=1,A(n+1)=bn+n,b(n+1)=an+(-1)^(n+1),n属于正整数 求an的通项公式
求证1/a1+1/a2+1/a3+..........+1/a(2n)
A(n+1)=bn+n ①
以n+1代入n则 b(n+1)=A(n+2)-n-1
联立b(n+1)=an+(-1)^(n+1) ②
得a(n+2)-an=(-1)^(n+1)+n+1 ③
B1=1代入①得a2=2
对③式,n为偶,则a(n+2)-an=(-1)^(n+1)+n+1=-1+n+1=n
又a2=2,故an=2+n*(n-2)/4
n为奇,则a(n+2)-an=(-1)^(n+1)+n+1=1+n+1=n+2
又a1=1,故an=n+(n-1)²/4=(n+1)²/4
即an通项为:an=2+n*(n-2)/4,当n为偶时;
an=(n+1)²/4,当n为奇时.
证明:n为奇,1/an=4/(n+1)²=4/(n+1)(n+1)