正方体ABCD-A'B'C'D'对角线BD'和平面PMN（P为A'B'中点,M为AD中点,N为CC'中点）垂直

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 16:16:45

以A为原点,AD,AB,AA'分别为x,y,z轴建立直角座标系,并设正方形边长为2.
则B(0,2,0),D'(2,0,2),P(0,1,2),M(1,0,0),N(2,2,1)
向量BD'=(2,-2,2),向量PM=(1,-1,-2),向量PN=(2,1,-1)
设平面PMN法向量为向量n=(x,y,1),则:
x-y-1=0
2x+y-1=0
解得x=1,y=-1,因此向量n=(1,-1,1)
∴向量BD'=2向量n
∴向量BD'∥向量n
∴向量BD'是平面PMN的法向量,BD'⊥面PMN
再问：能不能用垂直知识解答我还没学到向量这是立体几何章节的题
再答：几何法很麻烦很费时间的设正方形边长为2,则BD'=2√3 过P作PQ⊥AB於Q,则PQ=2,AQ=1.又AM=1,∴QM=√2,∴PM=√6.同理可知PN=MN=√6,∴△PMN是正三角形设BD'交面PMN於O,则O是正三角形PMN的中心,OD'=1/2BD'=√3.连接OP,OM,求出OP=OM=√2. 连接MD',PD',则MD'=PD'=√(DM²+DD'²)=√5.∴MD'²=OD'²+OM²,PD'²=OD'²+OP,∴BD'⊥OP,BD'⊥OM,∴BD'⊥面PMN
再问：能不能用垂直平分面解释
再答：什麽垂直平分面?几何法证明线面垂直不就是证明跟平面内两条相交直线垂直就好了么.

正方体ABCD-A'B'C'D'对角线BD'和平面PMN(P为A'B'中点,M为AD中点,N为CC'中点)垂直在棱长为2的正方体ABCD-A'B'C'D'中,设E为CC'中点,(1)求证BD垂直AE 在正方体ABCD—A”B”C”D”中,P,Q分别为AA”,CC”的中点,则四边形D”PBQ是问D”PBQ是不是垂直?是正方体ABCD-A`B`C`D`中,M、N、P分别是棱BC、CC`CD的中点,求证A`C垂直平面MNP 在正方体ABCD-A'B'C'D'中,M,N,P分别是BC,CC',CD,的中点,求证：平面AA'P垂直于平面MND 已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长是4,E、F分别是AB、AD的中点,G为CC'中点,求平已知正方体ABCD-A'B'C'D’ ,M,N分别是BB',DD’的中点,求截面AMC’N与面ABCD,CC’D’D所成已知正方体ABCD-A’B’C’D’中,P、Q、R分别为BC、CD、CC’的中点.(1) 判断直线B’D’与平面PQR的在正方体ABCD-A'B'C'D'中,P,Q分别为A'B',BB'的中点棱长为a的正方体ABCD-A'B'C'D',O为底面ABCD的中心,E,F分别为CC',AD的中点,求异面直线OE和FD 高一空间几何题正方体ABCD--A'B'C'D'中,M,N 分别为A'D',C'D'中点,则AA'与梯形AMNC所在平面在正方体ABCD-A'B'C'D'中,PQ分别为A'B',BB'的中点.