大学数学,采纳即追加：设x^2+px+q和x^2+rx+s都是整系数多项式,且它们有一个公根α不是整数.试证p=r,q=

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/25 17:50:07

大学数学,采纳即追加：设x^2+px+q和x^2+rx+s都是整系数多项式,且它们有一个公根α不是整数.试证p=r,q=s

证明：首先假如这两个整系数多项式的另外一个根也相等,显然这两个证系数多项式恒等,显然有p=r,q=s
否则,不防设x^2+px+q的根为α,β,x^2+rx+s的根伟α,γ(β不等于γ)
显然,α+β=-p,----(1)
αβ=q ----(2)
α+γ=-r ----(3)
αγ=s ----(4)
β-γ=r-p 为整数
α(β-γ)=q-s 为整数
又β不等于γ=>α=(q-s)/(r-p) 为有理数
显然(1)(3)可以推出β,γ也是有理数,显然对首项系数为1的二次正系数多项式假如他的根为有理数则它的必定是整数（自己证明的话也不难,假设α=m/n(,m,n为整数,且m,n)=1,n>=2,β=-p-m/n =>q=αβ=m/n*(-p-m/n)不是整数,矛盾),故与α不是整数矛盾,读反设不成立,即原命题成立
证毕!

已知2+i是实系数方程x^2+px+q=0的一个根,则p+q为数学题一元二次设P+q 和P-q 为方程一元二次X^2+Px+q=0的两个根求P和q的值已知c>0,设p:函数y=c^x在R上单调递减,Q：不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确求 1.一直C>0,设P:函数y=c^x在R上单调递减,Q:不等式 x+│x-2c│>1的解集为R,如果P和Q有且仅有一个正已知C大于0,设P：函数Y=C的X次方在R上单调递减,Q：不等式X+|X-2C|大于1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个多项式证明题,已知多项式P(x),Q(x),R(x)S(x)满足：P(x^5)+xQ(x^5)+(x^2)R(x^5)= 若方程x^2+px+q=0(q\=0)的一个根是q,那么p+q= 已知a＞0,设命题p：函数y=ax在R上单调递减,q：不等式x+|x-2a|＞1的解集为R,若p和q中有且只有一个命题为已知c＞0，设P：函数y=cx在R上单调递减，Q：不等式x+|x-2c|＞1的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c 设集合A={x｜2x^2+3px+2=0},B={x｜x^2+x+q=0},其中P、Q属于R,且A交B={1/2},则P 1.已知2i+3是关于x实系数方程x²+2px+q=0的一个根,求实数p,q的值已知3-i是关于x的实系数一元二次方程2x平方+px+q=0的一个根,求实数p,q的值.