作业帮关于大一微分中值定理中罗尔定理的问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 19:15:25
关于大一微分中值定理中罗尔定理的问题
f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导,并且g''(x)不等于0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证：1.在开区间（a,b）内,g(x)不等于0
2.在开区间（a,b）内至少存在一点ξ,使f(ξ)/g(ξ)=f''(ξ)/g''(ξ)
提示：两道题都是用罗尔定理证的,第一题还要用反证法
f(x),g(x)在[a,b]上二阶可导,并且g''(x)不等于0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证：1.在开区间（a,b）内,g(x)不等于0
2.在开区间（a,b）内至少存在一点ξ,使f(ξ)/g(ξ)=f''(ξ)/g''(ξ)
提示：两道题都是用罗尔定理证的,第一题还要用反证法
1、假设[a,b]之间某一点c,使得g(c)=0
那么g(a)=g(c)=g(b)=0
利用罗尔定理
(a,c)和(c,b)之间各有一点分别记为m和n,使得g(x)的导数g'(m)=g'(n)=0
再用一次罗尔定理
(m,n)之间有一点p,使得g'(x)的导数为零,即g''(p)=0
与条件矛盾,假设错误
证毕
2、构造函数h(x)=f(x)g'(x)-f'(x)g(x),h(a)=h(b)=0
则(a,b)之间有点ξ,满足h'(ξ)=0,即f(ξ)g''(ξ)-f''(ξ)g(ξ)=0
整理得f(ξ)/g(ξ)=f''(ξ)/g''(ξ)
那么g(a)=g(c)=g(b)=0
利用罗尔定理
(a,c)和(c,b)之间各有一点分别记为m和n,使得g(x)的导数g'(m)=g'(n)=0
再用一次罗尔定理
(m,n)之间有一点p,使得g'(x)的导数为零,即g''(p)=0
与条件矛盾,假设错误
证毕
2、构造函数h(x)=f(x)g'(x)-f'(x)g(x),h(a)=h(b)=0
则(a,b)之间有点ξ,满足h'(ξ)=0,即f(ξ)g''(ξ)-f''(ξ)g(ξ)=0
整理得f(ξ)/g(ξ)=f''(ξ)/g''(ξ)