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常数大于0,求心脏线r＝a(1+cosθ)的全长和所围图形的面积 不要灌水

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 13:06:12
常数大于0,求心脏线r＝a(1+cosθ)的全长和所围图形的面积 不要灌水
写错了，是常数a大于0
＝a(1+cosθ),r'＝-asinθ
利用对称性
长度=2∫(0,π)√r^2+r'^2dθ
=2∫(0,π)√a^2(2+2cosθ)dθ
=2a∫(0,π)√4cos^2(θ/2)dθ
=4a∫(0,π)cos(θ/2)dθ
=8a∫(0,π)cos(θ/2)dθ/2
=8asin(θ/2)|(0,π)
=8a
面积=2*1/2∫(0,π)r^2dθ
=∫(0,π)a^2(1+cosθ)^2dθ
=4a^2∫(0,π)cos^4(θ/2)dθ
=8a^2∫(0,π)cos^4(θ/2)dθ/2 (令θ/2=t)
=8a^2∫(0,π/2)cos^4tdt
=8a^2*3/4*1/2*π/2
=3/2*πa^2
再问： 答案是正确的！ 请问为什么长度=2∫(0,π)√r^2+r'^2dθ？ 这不是把ds变成dθ吗，原来的函数是1，是r和θ的函数，变为θ的函数不是应该乘以 √[(dr/dθ)^2+(dθ/dθ)^2] ＝√[(dr/dθ)^2+1] 吗，为什么是√r^2+r'^2？
再答： 弧微分:ds=√r^2+r'^2dθ 任何积分最终都要化为定积分来计算的.
再问： 3ks
设心脏线方程为r=1+cosθ,求心脏线围成图形面积,求心脏线的长度 求r=2a(1－cosθ)所围成图形的面积 计算心脏线r=a（1+cosx）（a＞0）所围成的平面图形的面积,求大神给图解释 定积分的应用 求心形线r=a(1+cosθ)(a>0)所围成的图形面积 心脏线r=a(1-cosθ)曲线绕极轴旋转曲面的面积? 曲线r=a^2cosθ所围成的图形面积（） 求由圆r=3cosθ与心形线r=1+cosθ所围成图形的面积 请附图说明 求心形线r=a（1+cosθ）的全长，其中a＞0是常数． 求心形线ρ=a(1-cosθ)(a>0)所围成的图形面积 求极坐标面积求曲线r=acosθ与r=a(cosθ +sinθ )所围图形公共部分的面积（a>0)不光要求答案要求给出解 求曲线r=2a(2+cosθ )围成的平面图形的面积 求曲线r=asin3θ (a>0)所围成平面图形的面积