各位大侠直角坐标系与柱坐标的基坐标单位向量怎么么转换

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 09:03:38

从得到这个悖论的推导过程,可看出直角坐标系和球坐标系的特点及联系,再类似考虑柱坐标系,可知三种常用坐标系是各有特点和联系的.
直角坐标系柱坐标系球坐标系
长度元 dlx=dx,dly=dy,dlz=dz dlρ=dρ,dlΦ=ρdΦ,dlz=dz dlr=dr,dlθ=rdθ,dlΦ=rsinθdΦ
面积元 dSx=dydz,dSy=dxdz,dSz=dxdy dSρ=ρdΦdz,dSΦ= dρdz,dSz=ρdρdΦ dSr=r2sinθdθdΦ,dSθ=rsinθdrdθ,dSΦ=rdrdθ
体积元 dV=dxdydz dV=ρdρdΦdz dV= r2sinθdrdθdΦ
直角坐标系：
直角坐标系是生产生活中应用最广泛的坐标系,因为在直角坐标系下,得到的数学表达式最直观,最符合人类的经验认识.但是真正的科学研究及实际工程中,可建立的标准直角坐标系是非常少的.即直角坐标系可作为人们最方便理解认识某一问题的工具,而不是好的解决问题的工具.
柱坐标系与球坐标系：
这两类坐标系是在科学工程中常用到的.因为它们更接近于工程模型,可以简化计算表达式.与直角坐标系的联系是都是有3个两两垂直的向量作为基,构成向量空间.
但是这两类坐标系不直观.因为用eФ和eθ表示的向量随着取点不同,方向和大小在不断改变.
deθr=rdeθ+eθdr和deФr=rdeФ+eФdr
可知,这两个基向量实际上由两个表达式确定,在应用过程中可能因已知条件不足产生同一个向量不同表达的悖论.
三种常用坐标系关系变换如下表：
ex ey ez
ep cosФ sinФ 0
eФ - sinФ cosФ 0
ez 0 0 1
ex ey ez
er sinθcosФ sinθsinФ cosθ
eθ cosθcosФ cosθsinФ -sinθ
eФ -sinФ cosФ 0
ep eФ ez
er sinθ 0 cosθ
eθ cosθ 0 -sinθ
eФ 0 1 0

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