单位列向量转置与该向量乘积的特征值

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/29 10:10:36

单位列向量转置与该向量乘积的特征值
x为单位列向量,那么A的特征值是多少（矩阵A如下图)?如果是多重特征值,求出重数.
我知道特征值只能是1和0,且只有一个1,其余n-1重都是0,但不知道怎么证明.

证明
（1）首先A^2=(xxT)(xxT)
用结合律
=x(xTx)xT
=x*1*xT
=xxT
=A
所以我们得到A^2-A=0（0表示零矩阵）
于是它的特征值只能是x^2-x=0的根,就是0或1.
（2）其次看0和1是几重根
A=
x1x1 x1x2 ...x1xn
x2x1 x2x2 ...x2xn
...
xnx1 xnx2 ...xnxn
我们发现它的各行都是成比例的,（比如第二行是第一行的x2/x1倍）.所以说这个矩阵的行向量线性相关,秩为1.它的n个特征值中,只能有一个不为0.
于是得到：特征值是n-1个0和一个1.

列向量与其转置向量的积已知,那么其转置向量与其的乘积怎么算怎样求列向量的单位向量在下列向量中，与向量a=（1，-3)平行的单位向量是（　　）矩阵的秩等于1为何能分解为列向量与行向量乘积可逆矩阵与非零向量（列向量）的乘积为何为非零向量不要用反证法哦, 零向量与单位向量的关系列向量组的秩与单位向量的秩一样吗 a向量和b向量的乘积与a向量和b向量乘积的模有什么区别? 向量的乘积公式什么是n维单位列向量与n维单位向量的区别请举个例子说下单位向量与单位化向量的区别怎么证A是m•n矩阵,b是m维列向量,非齐次方程组总有解与A的列向量组和单位向量等价