一道三角函数与数列结合的填空题

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/06 02:52:18

一道三角函数与数列结合的填空题
已知函数f(x)=sinX+tanX,项数为27的等差数列{An}满足An∈（-π/2,π/2）,且公差d≠0,若f(A1)+f(A2)+f(A3)+.+f(A27)=0,则当k=_______时,f(Ak)=0.
有的解题过程是：
由于fx=sinx+tanx在区间（-π／2,π／2）上是奇函数又是增函数
而an为区间（-π／2,π／2）的等差数列
所以fa1+fa2+.fa27中必有
fa1=-fa27
fa2=-fa26
……
所以要使得
fa1+fa2+.fa27=0
必有fa14=0
疑问：对于解答过程“fa1=-fa27,fa2=-fa26,……”可以严格推导出来吗?虽然函数为增函数和奇函数,但并不能直接推出此步.请问如何理解和解答

其实这个就是简单想像一下就知道了,没必要这么严格的.
如果非要严格的话可以这么考虑.如果 f(a1)+f(a27) 不是0,假设是大于0的（小于0的同样处理）.
先证明这个等价：a+b>0 b>-a f(a)+f(b)>f(a)+f(-a)（递增）= 0 (奇函数)
也就是说,a+b>0 等价于 f(a)+f(b) > 0
根据这个结论,如果f(a1)+f(a27)>0 也就有 a1+a27 > 0.
因为等差数列,所以 a1+a27 = a2+a26 = a3+a25 = ...= a14 + a14 ,它们都等于 2a1+26d,也就是说它们都大于0.所以f(a2)+f(a26)>0,f(a3)+f(a25)>0.f(a14)+f(a14)>0
所以 f(a1) + f(a27) + f(a2) + f(a26) + ...+ f(a13) +f(a15) > 0 ,同时根据最后一个式子有f(a14)>0,所以f(A1)+f(A2)+f(A3)+.+f(A27)>0 ,不符合题目要求了.

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