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均值不等式问题min{1/x^14+7x^2},x>0.结果应为8.但此式均值不等式为何不成立?即最小值应该在1/

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/25 16:44:19
均值不等式问题
min{1/x^14+7x^2},x>0.结果应为8.但此式均值不等式为何不成立?即最小值应该在1/x^14=7x^2,即x=(1/7)^16时取得,但为何却在x=1处取得?
答:
x>0
1/x^14+7x^2
=1/x^14+x^2+x^2+.+x^2 (7个x^2)
>=8*(8次方根√[(1/x^14)*(x^2)*.*(x^2)]
=8*1
=8
当且仅当1/x^14=x^2
即x^16=1即x=1时取得最小值8
利用均值不等式的时候原则上是消除掉未知数x