作业帮我对这道大学线性代数习题不会做
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 10:57:15
我对这道大学线性代数习题不会做
设整数k>=2,数域F上的线性空间V中的向量a(1),...,a(k)线性相关.证明：存在不全为0的数m(1),...,m(k)属于F,使得对任何a(k+1),向量组{a(1)+m(1)a(k+1),...,a(k)+m(k)a(k+1)}线性相关.
设整数k>=2,数域F上的线性空间V中的向量a(1),...,a(k)线性相关.证明：存在不全为0的数m(1),...,m(k)属于F,使得对任何a(k+1),向量组{a(1)+m(1)a(k+1),...,a(k)+m(k)a(k+1)}线性相关.
先取F里的一组数c(1),...,c(k)使得c(1)a(1)+...+c(k)a(k)=0
再找一组数m(1),...,m(k)使得c(1)m(1)+...+c(k)m(k)=0即可
再问： 那么是否m1,m2,……mk存在且不全为0？怎么证明
再答： 写成列向量的形式就是c^Tm=0
rank(c^T)=1，把m看成方程组c^Tx=0的一个非零解
再找一组数m(1),...,m(k)使得c(1)m(1)+...+c(k)m(k)=0即可
再问： 那么是否m1,m2,……mk存在且不全为0？怎么证明
再答： 写成列向量的形式就是c^Tm=0
rank(c^T)=1，把m看成方程组c^Tx=0的一个非零解