一数学几何难题在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD垂直底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 15:49:08

一数学几何难题
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD垂直底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF垂直PB交PB于点F.
（1）证明：PA//平面EDB;
(2)证明：PB垂直平面EFD;
(3)求二面角C-PB-D的大小
图在此：

这题我不会啊
不过能查出来
解法一：（1）证明：连结AC交BD于O.连结EO.
∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点.
在△PAC中,EO是中位线,
∴PA‖EO.
而EO平面EDB且PA平面EDB,
∴PA‖平面EDB.
（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD,∴PD⊥DC.
∵PD=DC,可知△PDC是等腰直角三角形.而DE是斜边PC的中线,
∴DE⊥PC.①
同样由PD⊥底面ABCD,得PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形,有DC⊥BC,
∴BC⊥平面PDC.
而DE平面PDC,∴BC⊥DE.②
由①和②推得DE⊥平面PBC.
而PB平面PBC,∴DE⊥PB.
又EF⊥PB且DE∩EF=E,所以PB⊥平面EFD.
由（2）知PB⊥DF,故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角.
由（2）知,DE⊥EF,PD⊥DB.
设正方形ABCD的边长为a,则PD=DC=a,BD=a,
PB==a,
PC==a,
DE=PC=a.
在Rt△PDB中,
DF===a.
在Rt△EFD中,
sin∠EFD===,
∴∠EFD=.
∴二面角C—PB—D的大小为.
解法二：如图所示建立空间直角坐标系,D为坐标原点.设DC=a.
（1）证明：连结AC交BD于G.连结EG.
依题意得A（a,0,0）,P（0,0,a）,E（0,）.
∵底面ABCD是正方形,∴G是此正方形的中心,故点G的坐标为（,0）且=（a,0,－a）,=（,0,－）.
∴=2.这表明PA‖EG.
而EG平面EDB且PA平面EDB,
∴PA‖平面EDB.
（2）证明：依题意得B（a,a,0）,
=（a,a,－a）.
又=（0,）,
故·=0+－=0.
∴PB⊥DE.
由已知EF⊥PB,且EF∩DE=E,
∴PB⊥平面EFD.
设点F的坐标为（x0,y0,z0）,=λ,则（x0,y0,z0－a）=λ（a,a,－a）.
从而x0=λa,y0=λa,z0=（1－λ）a.
∴ =（－x0,－y0,－z0）=〔－λa,（－λ）a,（λ－）a〕.
由条件EF⊥PB知·=0,即
－λa2+（－λ）a2－（λ－）a2=0,
解得λ=.
∴点F的坐标为（,）,且=（－,－）,=（－,－,－）.∴·=－－+=0,即PB⊥FD.
故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角.
∵·=－+=,且||=·a,||=·a,
∴cos∠EFD==.
∴∠EFD=.∴二面角C—PB—D为.