作业帮请教三角形三个重要的“心”和一点与三定点连线形成向量的关系与证明
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/10 09:28:37
请教三角形三个重要的“心”和一点与三定点连线形成向量的关系与证明
请做出证明
请做出证明
其实有5个心,而不是3个.
你想问三角形重心向量公式,对吧!
内心是三条角平分线的交点,它到三边的距离相等.
外心是三条边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等.
重心是三条中线的交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.
垂心是三条高的交点,它能构成很多直角三角形相似.
旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三边的距离相等.
（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
（2）外心到三顶点的距离相等；
（3）垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三点构成的三角形的垂心；
（4）内心、旁心到三边距离相等；
（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心；
（6）外心是中点三角形的垂心；
（7）中心也是中点三角形的重心；
（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心.
三角形重心向量公式证明：
向量证明三角形重心定理
三角形ABC,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,BF、CD交于点O,设向量AB=向量a,向量AC=向量b
（1）证明AOE三点在同一直线上,且AO：OE=BO：OF=CO：OD=2
（2）用a、b表示向量AO
向量BO与向量BF共线,故可设BO=xBF,
根据三角形加法法则：向量AO=AB+BO
=a+ xBF=a+ x(AF-AB)
= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b.
向量CO与向量CD共线,故可设CO=yCD,
根据三角形加法法则：向量AO=AC+CO
=b+ yCD=b+y(AD-AC)
= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.
所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b.
则1-x= y/2, x/2=1-y,
解得x=2/3,y=2/3.
向量BO=2/3BF,向量CO=2/3CD,
即BO：OF=CO：OD=2.
∴向量AO=(y/2)a+(1-y)b=1/3a+1/3b,
又因向量AE=AB+BE=a+1/2BC= a+1/2(AC-AB)
= a+1/2(b-a)=1/2a+1/2b,
从而向量AO=2/3向量AE,
即向量AO与向量AE共线,所以A、O、E三点共线,
且有AO：OE=2
补充：
重心G
sin2A*GA+sin2B*GB+sin2C*GC=0
内心I
sinA*IA+sinB*IB+sinC*IC=0
外心O
OA+OB+OC=0
垂心H
tanA*HA+tanB*HB+tanC*HC=0
上面的线段都是有向线段,0表示零向量.
望能解决你的问题.
你想问三角形重心向量公式,对吧!
内心是三条角平分线的交点,它到三边的距离相等.
外心是三条边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等.
重心是三条中线的交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.
垂心是三条高的交点,它能构成很多直角三角形相似.
旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三边的距离相等.
（1）重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；
（2）外心到三顶点的距离相等；
（3）垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三点构成的三角形的垂心；
（4）内心、旁心到三边距离相等；
（5）垂心是三垂足构成的三角形的内心；
（6）外心是中点三角形的垂心；
（7）中心也是中点三角形的重心；
（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心.
三角形重心向量公式证明：
向量证明三角形重心定理
三角形ABC,D、E、F分别是AB、BC、CA的中点,BF、CD交于点O,设向量AB=向量a,向量AC=向量b
（1）证明AOE三点在同一直线上,且AO：OE=BO：OF=CO：OD=2
（2）用a、b表示向量AO
向量BO与向量BF共线,故可设BO=xBF,
根据三角形加法法则：向量AO=AB+BO
=a+ xBF=a+ x(AF-AB)
= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b.
向量CO与向量CD共线,故可设CO=yCD,
根据三角形加法法则：向量AO=AC+CO
=b+ yCD=b+y(AD-AC)
= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.
所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b.
则1-x= y/2, x/2=1-y,
解得x=2/3,y=2/3.
向量BO=2/3BF,向量CO=2/3CD,
即BO：OF=CO：OD=2.
∴向量AO=(y/2)a+(1-y)b=1/3a+1/3b,
又因向量AE=AB+BE=a+1/2BC= a+1/2(AC-AB)
= a+1/2(b-a)=1/2a+1/2b,
从而向量AO=2/3向量AE,
即向量AO与向量AE共线,所以A、O、E三点共线,
且有AO：OE=2
补充：
重心G
sin2A*GA+sin2B*GB+sin2C*GC=0
内心I
sinA*IA+sinB*IB+sinC*IC=0
外心O
OA+OB+OC=0
垂心H
tanA*HA+tanB*HB+tanC*HC=0
上面的线段都是有向线段,0表示零向量.
望能解决你的问题.
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