曲线积分(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/29 12:48:10

曲线积分(y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz
L为x^2+y^2+z^2=a^2与平面x+y+z=0的交线从z轴正向看去L去逆时针方向谢谢!

用斯托克斯公式
原式=∫∫(S)[(-2dxdy)+(-2dydz)+(-2dzdx)] 根据右手法则被积曲面S法向量朝上
曲面S方程为x^2+y^2+z^2=a^2,x+y+z=0满足轮换对称性
原式=-∫∫(S)6dxdy=-6∫∫(D)dxdy,(设被积曲面S在平面xOy上的投影为D)
即要求D面积的-6倍(注意S的法向量向上,而D是个椭圆)
考察曲面S的面积,x^2+y^2+z^2=a^2,该球的圆心在(0,0,0)点,平面x+y+z=0过(0,0,0)点,易知交线L是个圆心在(0,0,0)半径为a的圆形,故面积为(πa^2)
同时又有:S的面积=∫∫(S)dS=∫∫(D)√(1+(z'(x))^2+(z'(y))^2)dD
由平面方程x+y+z=0易得z'(x)=z'(y)=-1
∫∫(S)dS=∫∫(D)√(1+(-1)^2+(-1)^2)dD=(√3)∫∫(D)dD
∫∫(D)dD=((√3)/3)∫∫(S)dS=((√3)/3)*πa^2
原式=-6∫∫(D)dxdy=-(2√3)πa^2
不知道算对没有
再问：我们只会格林公式额斯托克斯何许人也。能不能帮忙用格林公式或对曲线积分算一下，你的答案是对的！O(∩_∩)O~
再答：格林公式只适用于平面曲线，空间曲线的积分格林公式无解一般空间曲线积分要么斯托克斯公式要么化为参数方程，当然也可以化到一个坐标下，比如全部化为dx 下(这可能就是你说的对曲线积分算一下)，不过那样计算实在太复杂了，由于找不到合适的曲面参数方程所以就选用了第一种方法。附图：斯托克斯公式

曲线积分的问题计算第二类曲线积分∮y²dx+z²dy+x²dz,L为曲线x²+y 曲线和曲面积分曲线积分和曲面积分中,对于一个这样的积分∫f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz 求解答、、曲线积分...斯托克斯公式求I=∮L(y^2+z^2)dx+(z^2+x^2)dy+(x^2+y^2)dz, 微分方程（首次积分）已知dx/(e^x+z)=dy/(e^y+z)=dz/(z^2-e^(x+y)),求x,y,z的关系 f(x,y,z)=0,z=g(x,y),求dy/dx,dz/dx 设有方程x+y^2+z^2=2z,求dz/dx dz/dy 求函数：z^x=y^z的,dz/dx,dz/dy, 求第二类曲线积分∫（封闭的哈我打不粗来）(z-y)dx+(x-z)dy+(x-y)dz,Γ是曲线x^2+y^2=1,x 求第二类曲线积分∫ (y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz,L为椭圆x^2+y^2=1,x+y=1,从x轴正向看将∫(0,1)dx∫(0,1-x)dy∫(0,x+y)f(x,y,z)dz按y,z,x的次序积分为? 若z=e^（x^2+y^3）,求dz/dx,dz/dy 设Z=f(x^2 +y,2xy),求dz/dx和dz/dy