已知直线l与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线L相交于P、Q两点,OP⊥OQ,求证:1/|OP|^2+1/

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 21:09:33

已知直线l与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线L相交于P、Q两点,OP⊥OQ,求证:1/|OP|^2+1/|OQ|^2为定值.

因为点P为椭圆上的点,所以设点P(acosα,bsinα)
所以OP的斜率为k1=bsinα/acosα
又因为OP垂直于OQ所以两条直线的斜率乘积为-1,
所以直线OQ的方程为y=(-acosα/bsinα)x
将OQ方程y=(-acosα/bsinα)x与椭圆的方程x^2/a^2+y^2/b^2=1联立,
得到x^2=[a^2*b^4*(sinα)^2]/[a^4*(cosα)^2+b^4*(sinα)^2]
y^2=[a^4*b^2*(cosα)^2]/[a^4*(cosα)^2+b^4*(sinα)^2]
此（x,y）即为Q点坐标,
所以1/|OQ|^2=1/(x^2+y^2)=[a^4*(cosα)^2+b^4*(sinα)^2]/[a^4*b^2*(cosα)^2+a^2*b^4*(sinα)^2]
又因为1/|OP|^2=1/[a^2*(cosα)^2+b^2*(sinα)^2]
所以1/|OP|^2+1/|OQ|^2
=[a^4*(cosα)^2+b^4*(sinα)^2+a^2*b^2]/(a^2*b^2)[a^2*b^2*(cosα)^2+a^2*b^2*(sinα)^2]
=(a^2+b^2)[a^2*b^2*(cosα)^2+a^2*b^2*(sinα)^2]/(a^2*b^2)[a^2*b^2*(cosα)^2+a^2*b^2*(sinα)^2]
=(a^2+b^2)/(a^2*b^2)
所以为定值.

直线与圆锥曲线已知直线l：y=x+1与焦点在x轴上的椭圆x^2/5+y^2/m=1,相交于P、Q两点,且OP垂直OQ,其已知椭圆方程X^2/2+Y^2=1,直线L与椭圆相交于pq两点,o为原点,且op垂直oq. 直线L：y=kx+b与椭圆x²/2+y²=1交于P、Q两点,且OP与OQ垂直（O为坐标原点）,求证：已知x^2/6+y^2/2=1 经过椭圆的右顶点的直线l与椭圆交于P Q两点若OP⊥OQ 求直线PQ方程椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且OP⊥OQ（O为原点）,求1 .(14分)椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1与直线x+y-i=0 相交于P Q两点,且OP垂直于OQ（O为原点）. 过已知点(3,0)的直线L与圆X^2+Y^2+X-6Y+3=0相交于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为原点）,求直线L的方已知直线y=x+1与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1交于P,Q两点,且OP垂直OQ,|PQ|=根号10/2,求椭圆已知椭圆x^2/4+y^2/2=1,过F1的直线l与椭圆C交于A,B两点,若椭圆C上存在点P,使得向量OP=向量OA+向一道高二数学题椭圆X^2/A^2+Y^2/B^2=1(A>B>0)与直线X+Y=1交于P,Q两点,且OP⊥OQ,其中O为已知椭圆x²/6+y²/2=1,直线l过点(3,0）且交椭圆与P,Q两点.若向量OP垂直向量OQ,求已知圆C的圆心坐标是(-1/2,3)且圆C与直线x+2y-3=0相交于P,Q两点,又OP⊥OQ,O是坐标原点,求圆C