高中导数压轴题 底下扩展的第三问怎么做

高中导数压轴题 底下扩展的第三问怎么做

已知函数f(x)=x^3-x-√x.
(1)求函数y=f(x)的零点的个数；
(2)令g(x)=(ax^2+ax)/(f(x)+√x)+lnx,若函数g(x)在(0,1/e)内有极值,求实数a的取值范围；
(3)在(2)的条件下,对任意t∈(1,+∞),s∈(0,1),求证：g(t)-g(s)＞e+2-1/e．
(1)解析：∵函数f(x)=x^3-x-√x,其定义域为[0,+∞).
f(0)=0,∴x=0是y=f(x)的一个零点；
当x＞0时,f(x)=x(x^2-1-1/√x),
设φ(x)=x^2−1−1/√x,
φ'(x)=2x+1/(2√x^3)＞0,∴φ(x)在(0,+∞)上单调递增．
又∵φ(1)=-1＜0,φ(2)=3-1/√2＞0,
故φ(x)在(1,2)内有一零点,
∴y=f(x)在定义域内有且仅有2个零点；
(2)解析：g(x)=(ax^2+ax)/(f(x)+√x)+lnx=(ax^2+ax)/(x^3-x)+lnx
=ax(x+1)/[x(x+1)(x-1)]+lnx=lnx+a/(x-1),
g(x)=lnx+a/(x-1),其定义域是(0,1)∪(1,+∞),
则g'(x)=1/x-a/(x-1)^2=[x^2-(2+a)x+1]/[x(x-1)^2],
设h(x)=x^2-(2+a)x+1,
要使函数y=g(x)在(0,1/e)内有极值,则h(x)=0有两个不同的根x1,x2,
∴△=(2+a)^2-4＞0,得a＞0或a＜-4,且一根在(0,1/e)内,
不妨设0＜x1＜1/e,
又∵x1x2=1,
∴0＜x1＜1/e＜e＜x2,
∵h(0)=1,则只需h(1/e)＜0,即1/e^2−(a+2)•1/e+1＜0,
解得a＞e+1/e-2,
∴实数a的取值范围为（e+1/e-2,+∞）；
(3)证明：∵g(x)=lnx+a/(x-1),其定义域是(0,1)∪(1,+∞),
由(2)可知,当x∈(0,x1)时,g'(x)＞0,g(x)单调递增,x∈(x1,1)时,g'(x)＜0,g(x)单调递减,
∴y=g(x)在(0,1)内的最大值为g(x1),即对任意s∈(0,1),g(s)≤g(x1),
又当x∈(1,x2)时,g'(x)＜0,g(x)递减,x∈(x2,+∞)时,g'(x)＞0,g(x)递增,
∴y=g(x)在(1,+∞)内的最小值为g(x2),即t∈(1,+∞)时,g(t)≥g(x2),
由(2)可知x1+x2=2+a,x1x2=1,
x1∈(0,1/e),x2∈(e,+∞),
∵对任意s∈(0,1),t∈(1,+∞),有g(s)≤g(x1),g(t)≥g(x2),
g(s)+ g(x2)≤g(x1)+g(t)
∴g(t)-g(s)≥g(x2)-g(x1)
g(x2)-g(x1)=lnx2+a/(x2-1)-lnx1-a/(x1-1)
=ln(x2/x1)+a/(x2-1)-a/(x1-1)
=lnx2^2+x2-1/x2(x2＞e),
令k(x)=lnx^2+x-1/x=2lnx+x-1/x,
k'(x)=2/x+1+1/x^2＞0,
∴k(x)在(e,+∞)内单调递增,
故k(x)＞k(e)=2+e-1/e,
∴g(t)-g(s)＞e+2-1/e．