作业帮【200分】一道函数题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 06:47:38
【200分】一道函数题
已知函数f(x)=x|x-a|,其中a∈R
(1)判断函数f(x)的奇偶性
(2)解关于x的不等式:f(x)>=2(a^2)
(3)设集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数k,对任意x∈R,有f(x+k)=kf(x)成立,问是否存在实数a,使得f(x)=x|x-a|属于集合M.若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
已知函数f(x)=x|x-a|,其中a∈R
(1)判断函数f(x)的奇偶性
(2)解关于x的不等式:f(x)>=2(a^2)
(3)设集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数k,对任意x∈R,有f(x+k)=kf(x)成立,问是否存在实数a,使得f(x)=x|x-a|属于集合M.若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
1.
a=0时,f(x)=x*|x|,f(-x)=(-x)*|-x|=-x*|x|=-f(x),函数为奇函数
a不等于0时,f(-x)=(-x)*|-x-a|f(-x)=(-x)*|-x-a|=-(x*|x+a|)不等于-f(x)也不等于f(x),这个函数非奇非偶
2.
f(x)≥2a^2 =〉x|x-a|≥2a^2
分区间讨论：
a=0时,x^2≥0,恒成立x∈R
a〉0时,不等式右边恒大于0,|x-a|〉0,所以x>0
0
a=0时,f(x)=x*|x|,f(-x)=(-x)*|-x|=-x*|x|=-f(x),函数为奇函数
a不等于0时,f(-x)=(-x)*|-x-a|f(-x)=(-x)*|-x-a|=-(x*|x+a|)不等于-f(x)也不等于f(x),这个函数非奇非偶
2.
f(x)≥2a^2 =〉x|x-a|≥2a^2
分区间讨论：
a=0时,x^2≥0,恒成立x∈R
a〉0时,不等式右边恒大于0,|x-a|〉0,所以x>0
0