设函数f（x）=a-22x+1

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 09:38:11

设函数f（x）=a-

（1）证明：任取x₁，x₂∈R，且x_1＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=a-
2
2x1+1-a+
2
2x2+1=
2(2x1−2x2)
(2x1+1)(2x2+1)（2分）
∵y=2^x在（-∞，+∞）上递增，而x₁＜x₂∴2x1＜2x2∴2x1-2x2＜0（4分）
又（2x1+1）（2x2+1）＞0∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数（6分）
（2）f（x）为奇函数，f（0）=a-
2
20+1=a-1=0∴a=1
经检验，a=1时f（x）是奇函数（10分）
（3）由（2）知，f（x）=1-
2
2x+1
∵2^x+1＞1∴0＜
1
2x+1＜1∴f（x）∈（-1，1）（14分）

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