非齐次二阶微分方程原方程y``-2y`+5y=e^x(cos2x)特解：y*=xe^x(Acos2x+Bsin2x)y

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 12:09:24

非齐次二阶微分方程
原方程y``-2y`+5y=e^x(cos2x)
特解：y*=xe^x(Acos2x+Bsin2x)
y*` y*`` y*带入原方程求出AB,
可是 y*` y*`` 怎么求出来再带入?
难道用求导公式一步步求出来再带入?
代入结果：4Bcos2x-4Asin2x = cos2x
请帮忙写出稍微详细一点的

求导过程麻烦些,用函数乘积的求导法则,但是不难.
y=e^x[Axcos2x+Bxsin2x],
y'=e^x[Axcos2x+Bxsin2x]+e^x[Acos2x-2Axsin2x+Bsin2x+2Bxcos2x]=e^x[((A+2B)x+A)cos2x+(B-2A)x+B)sin2x],
y''=e^x[((A+2B)x+A)cos2x+((B-2A)x+B)sin2x]+e^x[(A+2B)cos2x-2((A+2B)x+A)sin2x+(B-2A)sin2x+2((B-2A)x+B)cos2x]=e^x[((4B-3A)x+(2A+4B))cos2x+((-4A-3B)x+(2B-4A))sin2x].
代入微分方程,整理得4Bcos2x-4Asin2x=cos2x.
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有简单的方法：先考虑方程y''-2y'+5y=e^x×e^(2xi)=e^((1+2i)x.λ=1+2i是齐次方程的特征方程的单根,所以特解假设为x×A×e^((1+2i)x.代入方程,求出特解后,求特解的实部即可（因为e^xcos2x是e^((1+2i)x)的实部）.
这儿有个书上的式子可用,对于方程y''+py'+qy=P(x)×e^λx,特解设为Q(x)×e^λx,代入得Q''(x)+(2λ＋p)Q'(x)+(λ^2+pλ+q)Q(X)=P(x).
这里λ=1+2i,λ^2+pλ+q=0,p=-2,Q(x)=Ax.所以,上面的式子化为
0+(2+4i-2)×A=1,所以A=1/(4i)=-1/4×i.
所以特解x×A×e^((1+2i)x=x×(-x/4)i×e^(1+2i)x=x×(-1/4)i×e^x×(cos2x+isin2xi),实部是1/4×x×e^x×sin2x,这就是原非齐次线性方程的一个特解.

y'=e^(y-2x),y丨x=0 =1 微分方程特解微分方程y'=e^x+y满足条件y(0)=0的特解为求微分方程y''-3y'+2y=xe^2x（e的2x次幂）的通解, 微积分y`=xe^2x-y,当X=1/2时,Y=0,球该微分方程的特解微分方程y”+2y'–3y=x^2·e^（-3x）的特解形式, 解微分方程 y'=[e^(y^2)]/2xye^(y^2)+4y,y|(x 求微分方程y''-y'+2y=e^X通解求微分方程xy'+y+xe^x=0满足初始条件y（1）=0的特解求微分方程(xe^y+1)dx+(1/2x^2e^y+y)dy=0的通解求微分方程y'+2y=e^x满足初始条件y(0)=1/3的特解求微分方程y’‘+3y'=2y=3xe^(-x)的通解求微分方程y''-3y'+2y=2xe^x的通解,但是细节看不懂

非齐次二阶微分方程 原方程y``-2y`+5y=e^x(cos2x)特解：y*=xe^x(Acos2x+Bsin2x)y

非齐次二阶微分方程原方程y``-2y`+5y=e^x(cos2x)特解：y*=xe^x(Acos2x+Bsin2x)y