作业帮导数和零点问题,分类讨论时,如何判断有多少零点?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/14 05:01:58
导数和零点问题,分类讨论时,如何判断有多少零点?
因为f′（1）=-1,所以曲线C：y=f（x）在点P（1,1）处的切线l为y=-x+2．
若切线l与曲线C只有一个公共点,则方程1/2m（x-1）^2-2x+3+lnx=-x+2有且只有一个实根．
显然x=1是该方程的一个根．
令g（x）=1/2m（x-1）^2-x+1+lnx,则g′(x)=m(x-1)-1+1/x=m(x-1)(x-1/m)/x．
当m=1时,有g′（x）≥0恒成立,所以g（x）在（0,+∞）上单调递增,所以x=1是方程的唯一解,m=1符合题意．
当m＞1时,令g′（x）=0,得x1=1,x2=1/m,则x2∈（0,1）,易得g（x）在x1处取到极小值,在x2处取到极大值．
所以g（x2）＞g（x1）=0,又当x→0时,g（x）→-∞,所以函数g（x）在（0,1/m）内也有一个解,即当m＞1时,不合题意．
综上,存在实数m,当m=1时,曲线C：y=f（x）在点P（1,1）处的切线l与C有且只有一个公共点
再问： m 在o到1？？？
再答： 0
若切线l与曲线C只有一个公共点,则方程1/2m（x-1）^2-2x+3+lnx=-x+2有且只有一个实根．
显然x=1是该方程的一个根．
令g（x）=1/2m（x-1）^2-x+1+lnx,则g′(x)=m(x-1)-1+1/x=m(x-1)(x-1/m)/x．
当m=1时,有g′（x）≥0恒成立,所以g（x）在（0,+∞）上单调递增,所以x=1是方程的唯一解,m=1符合题意．
当m＞1时,令g′（x）=0,得x1=1,x2=1/m,则x2∈（0,1）,易得g（x）在x1处取到极小值,在x2处取到极大值．
所以g（x2）＞g（x1）=0,又当x→0时,g（x）→-∞,所以函数g（x）在（0,1/m）内也有一个解,即当m＞1时,不合题意．
综上,存在实数m,当m=1时,曲线C：y=f（x）在点P（1,1）处的切线l与C有且只有一个公共点
再问： m 在o到1？？？
再答： 0