在课外小组活动时,小伟拿来一道题(原问题)和小熊、小强交流.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/10 09:13:17
在课外小组活动时,小伟拿来一道题(原问题)和小熊、小强交流. 原问题:如图1,已知△ABC, ∠ACB=90° , ∠ABC=45°,分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE, 且DA=DB, EB=EC,∠ADB=∠BEC=90°,连接DE交AB于点F. 探究线段DF与EF的数量关系.小伟同学的思路是:过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形,通过推理使问题得解.小熊同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°.小强同学经过合情推理,提出一个猜想,我们可以把问题推广到一般情况.请你参考小慧同学的思路,探究并解决这三位同学提出的问题: 小题1:写出原问题中DF与EF的数量关系 小题2:如图2,若∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°,原问题中的其他条件不变,你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想并加以证明; 小题3:如图3,若∠ADB=∠BEC=2∠ABC,原问题中的其他条件不变,你在(1)中 得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想并加以证明 |
小题1:DF= EF. ……………………………(2分)
小题2:猜想:DF= FE.
证明:过点D作DG⊥AB于G, 则∠DGB=90°.
∵ DA=DB,∠ADB=60°.
∴ AG=BG,△DBA是等边三角形.
∴ DB=BA.
∵∠ACB=90° ,∠ABC=30°,
∴ AC= AB=BG. ∴△DBG≌△BAC.
∴ DG=BC. ∵ BE=EC,∠BEC=60°,
∴△EBC是等边三角形.
∴ BC=BE,∠CBE=60°.
∴ DG= BE,∠ABE=∠ABC+∠CBE=90° .
∵∠DFG =∠EFB,∠DGF =∠EBF,
∴△DFG≌△EFB.∴ DF= EF. ………………(7分)
小题3:猜想:DF= FE.
过点D作DH⊥AB于H,连接HC、HE、HE交CB于K,则∠DHB=90°.
∵ DA=DB, ∴ AH="BH," ∠1=∠HDB.
∵∠ACB=90°,∴ HC=HB.
∵ EB=EC,HE=HE,
∴△HBE≌△HCE.
∴∠2=∠3,∠4=∠BEH. ∴ HK⊥BC.
∴∠BKE=90°.
∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC,
∴∠HDB=∠BEH=∠ABC.
∴∠DBC=∠DBH+∠ABC =∠DBH+∠HDB=90°,
∠EBH=∠EBK+∠ABC =∠EBK+∠BEK=90°.
∴ DB//HE, DH//BE.
∴四边形DHEB是平行四边形.
∴ DF=EF. ………………………………………………………(12分)
本题的解题思路是通过构建全等三角形来求解.先根据直角三角形的性质,等边三角形的性质得到一些隐含的条件,然后根据所得的条件来证明所构建的三角形的全等;再根据全等三角形的对应边相等得出DF=EF的猜想.
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