如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，且OA＝2，O

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 22:35:11

如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、C分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，且OA＝2，OC＝1，矩形对角线AC、OB相交于E，过点E的直线与边OA、BC分别相交于点G、H．
(1)①直接写出点E的坐标：；②求证：AG＝CH．
(2)如图2，以O为圆心，OC为半径的圆弧交OA与D，若直线GH与弧CD所在的圆相切于矩形内一点F，求直线GH的函数关系式．
(3)在(2

)的结论下，梯形ABHG的内部有一点P，当⊙P与HG、GA、AB都相切时，求⊙P的半径．

(1)① E 的坐标是：(1，

)，
故答案为：(1，

)；
②证明：∵矩形 OABC ，
∴ CE ＝ AE ， BC ∥ OA ，
∴∠ HCE ＝∠ EAG ，
∵在△ CHE 和△ AGE 中

，
∴△ CHE ≌△ AGE ，
∴ AG ＝ CH;
(2)连接 DE 并延长 DE 交 CB 于 M ，

∵ DD ＝ OC ＝1＝

OA ， ∴ D 是 OA 的中点，
∵在△ CME 和△ ADE 中

，
∴△ CME ≌△ ADE ，
∴ CM ＝ AD ＝2－1＝1，
∵ BC ∥ OA ，∠ COD ＝90°，
∴四边形 CMDO 是矩形，
∴ MD ⊥ OD ， MD ⊥ CB ，
∴ MD 切⊙ O 于 D ，
∵得 HG 切⊙ O 于 F ， E (1，

)，
∴可设 CH ＝ HF ＝ x ， FE ＝ ED ＝

＝ ME ，
在Rt△ MHE 中，有 MH ² ＋ ME ² ＝ HE ² 即(1－ x )² ＋(

)² ＝(

＋ x )² ，
解得 x ＝

，
∴ H (

，1)， OG ＝2－

＝

，
又∵ G (

，0)，
设直线 GH 的解析式是： y ＝ kx ＋ b ，
把 G 、 H 的坐

标代入得：0＝ b ，且1＝

k ＋ b ，
解得： k ＝－

， b ＝

，
∴直线 GH 的函数关系式为 y ＝－

；
(3)连接 BG ，
∵在△ OCH 和△ BAG 中

，
∴△ OCH ≌△ BAG ，
∴∠ CHO ＝∠ AGB ，
∵∠ HCO ＝90°，
∴ HC 切⊙ O 于 C ， HG 切⊙ O 于 F ，
∴ OH 平分∠ CHF ，
∴∠ CHO ＝∠ FHO ＝∠ BGA ，
∵△ CHE ≌△ AGE ，
∴ HE ＝ GE ，
在△ HOE 和△ GBE 中

，
∴△ HOE ≌△ GBE ，
∴∠ OHE ＝∠ BGE ，
∵∠ CHO ＝∠ FHO ＝∠ BGA ，
∴∠ BGA ＝∠ BGE ，即 BG 平分∠ FGA ，
∵⊙ P 与 HG 、 GA 、 AB 都相切，
∴圆心 P 必在 BG 上，过 P 做 PN ⊥ GA ，垂足为 N ，
∴△ GPN ∽△ GBA ，
∴

，
设半径为r，

＝

，
解得：r＝

，
答：⊙