已知AB是抛物线y^2=2Px上的点,OA⊥OB,求三角形AOB面积的最小值

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/25 12:08:45

已知AB是抛物线y^2=2Px上的点,OA⊥OB,求三角形AOB面积的最小值
为什么要使三角形AOB面积有最小值,则|OA|=|OB|,

为简易起见,取p > 0,开口向右.
设OA斜率k,OA方程 y = kx,代入y^2 = 2px,A(2p/k^2,2p/k)
OB斜率 -1/k,OB方程 y = -x/k,代入y^2 = 2px,B(2pk^2,-2pk)
|OA|^2 = (2p/k^2)^2 + (2p/k)^2 = 4p^2(k^2 + 1)/k^4
|OB|^2 = (2pk^2)^2 + (2pk)^2 = 4p^2k^2(k^2 + 1)
|OA|^2 * |OB|^2 = 4p^2k^2*(k^2 + 1) * 4p^2(k^2 + 1)/k^4 = 16p^4*(k^2 + 1)^2/k^2
|OA|*|OB| = 4p^2(k^2+1)/k
S = |OA|*|OB|/2 = 2p^2*(k^2+1)/k = 2p^2*(k + 1/k)
S' = 2p^2*(1 -1/k^2) = 0
k = ±1
二者等价,只取k = 1:
A(2p,2p),B(2p,-2p)
|OA|=|OB|

过抛物线y^2=2px焦点f作弦AB,求三角形AOB的面积的最小值已知y^2=2px(p>0)上两点AB,OA=OB,且AOB垂心是抛物线焦点,求AB方程已知A.B是抛物线y^=2px(p>0)上的两点.0为原点.若|OA|=|OB| 且△AOB的垂心恰是抛物线的焦点,则求已知AB是抛物线y^2=2px的焦点弦,O是抛物线的顶点,若AB=a,则三角形AOB的面积是 AB是抛物线y平方=2px的焦点弦,且AB的模等于m,O是抛物线的顶点求三角形AOB的面积. A ,B是y^2=2px(p>0)上两点,o为坐标原点,若OA的绝对值等于OB的绝对值,AOB的垂心是抛物线焦点,求ab 已知抛物线y^2=2px,O为顶点,AB为抛物线上的两动点,且OA垂直于OB,如果OM垂直于AB,求M点的轨迹方程已知AB是抛物线y^2=2px的焦点弦,O是抛物线的顶点,AB=a,求△AOB的面积 A,B是抛物线y^2=2px(p>0)上的两点,满足OA垂直OB(O为原点),求证直线AB恒过一定点 A,B是抛物线y^2=2px(p>0)上的两点,满足OA垂直OB,求证直线AB恒过一定点已知抛物线y^2=4x,三角形△ABC的顶点A,B在抛物线上,且OA⊥OB,OP⊥AB于点P,求点P的轨迹方程已知过点M(2p,0)的直线与抛物线y²=2px（p＞0）相交与AB两点,求证OA⊥OB