求二元函数f(x)=2(x^2 +y^2) ^2+4(y^2-x^2)的极值

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/09 13:28:26

求二元函数f(x)=2(x^2 +y^2) ^2+4(y^2-x^2)的极值
如题如题!

令x^2=a y^2=b 有
f(x,y)=2[(a+b)^2+2(b-a)]=2(a^2+b^2+1+2ab-2b-2a+4b)-2=2[(a+b-1)^2+4b]-2 代回有：
f(x,y)=2[(x^2+y^2-1)^2+4y^2]-2
如果题中y是固定的,那么令x^2+y^2-1=0取得最小值即可（因为写的是f(x)）
若是 x y 的二元函数的极值,那么其最小值为：y=0 x=1 f(x,y)min=-2 最大值为正无穷
因此f(x,y)的极值为-2
再问：当x=1,y=0时，一阶导数不为零，所以这个点不是极值点。更不是极值了
再答：首先我不得不说的是既然是2元函数那么为什么写的是f(x) 不是应该是f(x,y)吗，其次二元函数的极值点如果想用高等数学的方法，应该使用偏导数而非单独求一阶导数。如果仅仅是f(x) 的一元多次方程，完全可以使用求平方和的办法来求，当然如你说所的一阶导数也不失为一个通用的方法。但是既然说到求导了，那么我想我可能是想简单了，可是题目中也需指明是在实数域还是复数域。如果是复数域求极值也应该使用求模这样的说法，因此总体来说是让我很困扰的，我于是便安自己理解的来做。x，y是实数，求二元函数f(x,y)的极值，如果这么理解其中的关键就是配一个平方。 x和y都是带平方的直接求偏导数是比较麻烦的。你可以再研究一下，或者把题目出的更加完整

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