各位帮我解一道线性代数题.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 09:22:47

各位帮我解一道线性代数题.
各位帮我解一道线性代数题：设向量组：a1,a2,.am(m〉1)线性无关,且b=a1+a2+.+am,求证：向量组b-a1,b-a2,.b-am线性无关.lA*l=lAln-1（这里A*为A的伴随矩阵）.

（1）考察k1(b-a1) + k2(b-a2) + ...+ km(b-am) = 0.
代入b整理得：
(k2+k3+...+km)a1 + (k1+k3+...+km)a2 + ...+ (k1+k2+...+km-1)am = 0.（*）
由a1,a2,.am线性无关得等式（*）左边a1,a2,.am的系数全为0,即
k2+k3+...+km = 0 .
k1+k3+...+km = 0 .
.
k1+k2+...+km-1 = 0 .
以上m个等式显然构成未知量k1,k2,...,km的线性方程组,
很容易求得系数矩阵的行列式不为零(可对m赋值,比如2,3),即系数矩阵可逆.
因此k1 = k2 = ..= km = 0.
从而b-a1,b-a2,.b-am线性无关.
（2）
AA* = |A|E,等式两边求行列式得|AA*| = | |A|E |
即|A| |A*| = |E| |A|^n = |A|^n ,等式两边除以|A|得lA*l=lAl^(n-1)

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